Экстремумы

1. Функция в точке имеет максимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 2. Функция в точке имеет минимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции. Необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке функции является .

Доказательство. Пусть точка – точка максимума, тогда при и при . Поскольку при вычислении производной пределы слева и справа должны совпадать, то есть .

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, называются критическими точками. Критические точки функции не обязательно являются точками экстремума. Например, если , то при , но точка не является точкой экстремума, что видно из рисунка.

Теорема 1 о достаточном условии существования максимума и минимума функции.

Если производная функции при переходе через точку меняет знак с + на –, это точка максимума. Если знак производной меняется с – на +, имеем точку минимума. Доказательство следует из теоремы о возрастании (убывании) функции.

Теорема 2 о достаточном условии существования максимума и минимума функции. Пусть , тогда при функция имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство.

Из формулы Тейлора в окрестности точки экстремума , в которой удержано три первых члена, имеем

.

Поскольку , что следует из условия теоремы, а остаточный член по определению меньше предыдущего члена формулы, знак приращения функции независимо от того, точка находится левее, или правее , определяется знаком второй производной. Когда , получаем , следовательно, точка минимума функции, если , значит , тогда - точка максимума функции.

Пример 1. . Найдем критические точки этой функции. Так как , то критическими точками являются . Применим первую теорему о достаточном условии. Очевидно, что при и при , следовательно, в точке 0 экстремума нет. при , следовательно, в точке 3 минимум функции.

Пример 2. . Найдем критические точки этой функции. Так как , то критическими точками этой функции являются точки . Применим вторую теорему о достаточном условии. Очевидно, что , поэтому является точкой локального максимума при четном и точкой локального минимума при нечетном.

Дата добавления: 2013-12-13