Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Числовые ряды




Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что является объектом, а что предметом педагогики? Определите отличие предмета педагогики от предмета смежной науки – педагогической психологии.

2. Каковы функции педагогики как науки? Раскройте их.

3. Дайте определение основных категорий педагогики: воспитание, обучение, образование.

4. С какими науками функционально связана педагогика? Какое значение имеют эти связи?

5. Кратко изложите суть философско-педагогических взглядов представителей неопозитивизма, прагматизма, бихевиоризма, экзистенциализма, диалектического материализма.

6. Раскройте суть деятельностного и системного подходов к воспитанию.

7. Нужно ли учителю-практику знать педагогику? Аргументируйте свой ответ.

 

 

Определение 1. Выражение

,

где - заданная бесконечная числовая последовательность, называется числовым рядом.

Определение 2. Конечные суммы , , …, называются частичными суммами ряда.

Определение 3. Если существует предел последовательности частичных сумм , то ряд называется сходящимся, и число называется суммой этого ряда.

 

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Частичная сумма этого ряда .

Для того, чтобы вычислить предел последовательности частичных сумм, разложим общий член данного ряда на простейшие дроби

.

.

. По определению данный ряд сходится и его сумма равна единице.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Частичная сумма этого ряда

.

, такой ряд является расходящимся.

 

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Последовательность частичных сумм: , , , , …

Предел последовательности таких частичных сумм не существует, то есть, данный ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Такой ряд является геометрической прогрессией, сумма которой определяется по формуле

, для .

.

Если , то .

 

Теорема 1. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на его сходимость, но изменяет сумму ряда.

 

Доказательство.

Рассмотрим ряды (1)

и

(2).

Обозначим сумму отброшенных членов ряда через , отбрасывает членов, тогда частичная сумма для ряда (1) будет иметь вид , где - частичная сумма ряда (2).

При величина , тогда .

Это означает, что если существует предел , то будет существовать предел . Значит, ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

 

Теорема 2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже постоянное число , то его сходимость не нарушится, а сумма изменится в раз, .

Доказательство.

.

 

Теорема 3. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать или вычитать, при этом сходимость вновь полученного ряда сохранится и его сумма будет равна сумме или разности данных рядов, то есть .

Доказательство.

.

 

Теорема 4. (критерий Коши).

Для того чтобы числовой ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для , такое, что и выполнялось неравенство

.

 

Теорема 5.Необходимый признак сходимости числового ряда.

Если ряд сходится, то общий член сходящегося ряда стремится к нулю при значениях , то есть

Доказательство:

Так как, по условию теоремы 1, то значение:

В противном случае ряд расходится.

Это условие не является достаточным.

Покажем, что гармонический ряд расходится, несмотря на то, что

Рассмотрим

 

Таким образом, критерий Коши не выполняется и гармонический ряд расходится.

 

 

Примеры:

1. Исследуйте на сходимость ряд

Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости:

2. Исследуйте на сходимость ряд

Проверим выполнение необходимости признака сравнения:

ряд расходится.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 3034; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.