КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вычисление радиуса сходимостиПризнак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда). Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области. Другими словами, если функции в некоторой области не превосходят по абсолютной величине соответствующих положительных чисел и если числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно. Пример. Доказать равномерную сходимость функционального ряда . Решение. . Заменим общий член этого ряда общим членом числового ряда, но превосходящего каждый член ряда по абсолютной величине. Для этого надо определить , при котором общий член ряда будет максимальным. . . Тогда . Полученный числовой ряд сходится, значит, функциональный ряд сходится равномерно согласно признаку Вейерштрасса.
Пример. Найдите сумму ряда . Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно
Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной: . Вычислим производные:
тогда
Степенные ряды.
Среди функциональных рядов есть класс степенных и тригонометрических рядов.
Определение. Функциональный ряд вида называется степенным по степеням . Выражения - постоянные числа. Если ряд является степенным по степеням .
Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале . Доказательство. Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство . Тогда данный ряд можно записать так: В силу сделанного замечания можно записать ряд , который образует геометрическую прогрессию со знаменателем . Если , то , и прогрессия сходится. Если больший ряд сходится, то будет сходиться и данный ряд. Теорема доказана. Следствие. Если степенной ряд расходится при значении , то ряд расходится при всяком значении , большем по абсолютной величине , . Из теоремы Абеля и следствия из этой теоремы вытекает следующее предположение. Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , , ряд абсолютно сходится, а для значений , , ряд расходится. Что касается значений или , то здесь возможны ситуации, когда ряд сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. Определение. Число такое, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится, называется радиусом сходимости ряда, а интервал называется интервалом сходимости. Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке
Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке -R cx. R x расх 0 расх
В граничных точках поведение ряда требует дополнительного исследования. Можно указать правило для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
Теорема. Если существует предел , то радиус сходимости ряда равен , то есть , причем считаем , если , и , если . Доказательство. Предположим, что , то есть рассмотрим числовой ряд , который является рядом абсолютных величин данного степенного ряда. Тогда : 1. Пусть - конечное число, отличное от нуля, значит, . По радикальному признаку Коши ряд, составленный из абсолютных величин ряда, сходится при , отсюда следует, что . При и ряд расходится для всех значений . В самом деле, если бы при , , ряд сходился, то по теореме Абеля для , где , он должен был бы сходиться, чего быть не может. Таким образом, ряд сходится при и расходится при и, значит, . 2. Пусть . Тогда при всяком значении , и ряд сходится для любого . Значит, ряд абсолютно сходится во всякой точке оси и . 3. Пусть . Тогда при всяком значении , , и значит, ряд не может сходиться ни при каком . На основании теоремы Абеля заключаем, что ряд во всех точках оси (кроме нулевой) расходится и . Теорема. Если , то радиус сходимости ряда равен , то есть , причем мы считаем при и при .
Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и поэтому можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.
1. По признаку Даламбера:
Ряд сходится, если , отсюда радиус сходимости - .
2. По интегральному признаку Коши:
Ряд сходится, если , отсюда следует, что .
Пример. Найдите область сходимости рядов: 1) и 2) . 1) . Интервал сходимости Исследуем граничные точки. расходится; - сходится условно по признаку Лейбница. Область сходимости ряда . 2) , ряд сходится при всех .
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 473; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |