Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Наука – это способ отражения, описания и преобразования систем с целью прогнозирования их поведения в определенных условиях.

Число А называется пределом функции y = f(x) при x →x0, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое δ > 0, зависящее от ε, что для всех x, для которых справедливо неравенство | x – x0 | < δ верно также неравенство | f(x) – A| < ε.

Частным, но очень важным примером использования информации является создание речевой информации – Языка.

Следствием создания языка явилась письменность, которую будем условно называть «кодированием» информации. Что появилось раньше элементы письменности или элементы языка и как они влияли друг на друга, вопрос еще недостаточно изучен, поэтому ниже будем заниматься только языком.

Начнем с вопроса о моменте зарождения естественного языка. Одним из важнейших событий в жизни людей оказалось появление естественного языка, как средства общения потому, что "вначале было Слово". Рассмотрим этот момент в нашей жизни подробнее.

Каждый раз, когда мы хотим понять детали какого либо процес­са или структуры объекта, то подбираем слова так, чтобы их можно было записать (закодировать), передать (создать сигнал), сохранить (создать память) и использовать.

Хорошо известно, что обмен информацией – это один из способов взаимодействия систем, результатом которого является согласование их поведения. (Разговорный язык выполняет эту функцию, поэтому говорят, что он является «средством коммуникации», то есть средством «связи»).

Необходимыми условиями восприятия информации яв­ляются следующие: (1) возможность выделения "сигнала" на хаотическом фоне других сигна­лов и (2) возможность кодирования получаемой информа­ции с целью создания конюктурной, оперативной или долговремен­ной памяти.

В реальной жизни эти условия выполняются не просто. Уже на уровне восприятия, полученная информация характеризуется неоднозначностью. На рисунке видно, что с различных сторон, глядя сверху или снизу, один и тот же портрет можно трактовать по разному. Интересно, смогут ли договориться друг с другом люди, рассматривающие портрет с различных сторон о том, что они видели? Почти наверняка можно сказать, что не договорятся. В то же время, если они догадаются поменяться местами, то ответ станет другим. Этот пример наводит на серьезные размышления об объективности информации, получаемой нами. Особенно осторожно необходимо относиться к однозначной трактовке любой информации, в том числе и относящейся к научной. По видимому, нужно стремиться к получению информации «с разных точек зрения», используя комплекс приборных средств. Все эти эксперименты дополнят информацию об объекте до максимально полной, несмотря на то, что некоторые измерения могут показать противоположные результаты.

Такая ситуация сложилась в свое время в физике, когда происходил переход к квантовой механике. Оказалось, что физические свойства, которые обнаруживаются у микрообъектов, противоположны: то ли они «частицы», то ли «волны». Тогда Н. Бором был высказан принцип дополнительности: у объектов могут быть различные свойства и даже противоположные, но если они получены в достоверном эксперименте, то эти свойства дополняют друг друга.

Можно расширить этот принцип до его практического применения в жизни и образовании: лишних знаний о объекте не бывает. Все знания дополняют друг друга.

Вернемся к системе сигналов, которые приводят к рождению языка, чтобы выяснить, как это могло происходить.

Так как речь идет о взаимодействии живых систем, то ответная реакция организма на полученную информацию также может быть выражена различно - это "мимика", жесты, позы, поведение, или в ви­де отдельных звуковых сигналов. Основная функциональная нагрузка, которую выполняет сигнальная система для людей – быть системой общения, что в конечном счете, порож­дает в человеческом сообществе феномен естественного языка.

Теперь рассмотрим этот процесс обмена информацией на конкретном примере «из жизни животных». Так как необходимость общения появилась уже в животном мире, а его звуковая форма особенно распространена среди птиц, обратимся к специальной литературе, поясняющей возникновение звуковой сиг­нальной системы в мире "пернатых". Интересен, проведенный исследователями анализ вариантов песен соловья, то есть способов комби­нирования звуков, для записи которых были, в свое время, предложены даже специальные нотные символы, как в музыке.

В России существует богатая «народная» терминология для обозначения фрагментов соловьиного пения. Среди них выделяют колена, такие как "катушка" и грёмушка"; стукотни - "перебивная" и "дятловая",; свисты - ­"смирновский", "визговой", "польский"; дудки - "трелевая", "юлиная", "свет­лая", "лягушачья" и т.д. Во время одной из экспедиций удалось по­дойти почти вплотную к поющему соловью. За 40 минут, на протяже­нии которых птица ни разу не сменила места, было записано (как выяснилось после расшифровки) 240 последовательных вариантов ее песни, среди которых только 11 имели абсолютных "двойников", 74 варианта имели одинаковое начало. Общее же число комбинаторно вычисленных возможных вариантов песен, если их спеть случайным образом, составляет астрономическую цифру 4 194 922 360. Только не­большая часть использованных песен с повторяющимися отдельными фрагментами говорит о том, что соловей импровизировал на основе уже апробированных вариантов. Песня соловья, несомненно, склады­валась при длительном обучении, так как многие звуки сформирова­ны на основе подражания голосам других птиц. Как известно, для то­го чтобы соловей «включил в свой репертуар» фразу, называемую "юли­ной дудкой", владельцы лесных певцов вешали рядом с его клеткой клетку лесного жаворонка (юлу, как его иногда называли на Руси). Отметим отдельно, что процесс обучения там, где он существует в природе, базируется на игровом имита­ционном принципе. Это принцип существует и в современной системе образования. Таким образом, можно заметить, что песни со­ловья не являются только случайным набором звуков. Это достаточ­но организованная система, состоящая из единиц разных структур­ных уровней (нота, фигура, напев, куплет), причем как выяснилось при исследованиях, сами единицы связаны друг с другом на основе определенных правил и порождаемых ими запретов, характерных для каждого вида пернатых. Создается первая сигнальная система.

Можно ли считать, что птичьи песни являются источником слож­ных и содержательных сообщений? Наблюдения зоопсихологов дают от­рицательный ответ на этот вопрос. Форма и цвет в животном мире, раскраска и звуковые сигналы служат только одной цели - они яв­ляются сигнальной информацией о существовании вида и индивидуальных особенностях конкретной особи, занимающей определенное место в иерархической системе рода, о месте в среде обитания, о существующей опасности и т.п. Главное, что это конкретный монос­мысловой (односмысловой) сигнал в конкретной обстановке.

Общей чертой сигнальных систем, использующих звук в качес­тве носителя информации, является дискретное кодирование сигнала, появление отдельных фонем, из которых строится все остальное (первый уровень структурной организации сигнальной системы).

(В качестве упражнения, попробуйте раскодировать запись предложения, представленного непрерывным набором букв. В этом случае, не выполняется требование дискретности сигнала: «угривтиненетихвглинесмолавеливдубенет».

Структура человеческой речи, кроме фонем первого уровня, содержит на втором уровне - слово, на третьем - предложение и на четвертом - фразы. На первый взгляд, кажется, что сигнальная сис­тема не претерпела принципиальных изменений по сравнению с птичьими сигналами. Однако это не так. При переходе системы на многосмысловой, многозначный уровень, каждая фонетическая конструкция приобрела определенное значение. Появилось определение и понятие. Свойства системы из­менились, возросла сложность, новые свойства привели к "оторванности" смысло­вой информации от субъекта и "передаче" ее другому субъекту. Эта перемещаемость языка (термин используется лингвистами) и есть то главное, что отли­чает человеческую речь от звуковых сигналов животного мира. Передается не только информация в виде отдельного сигнала, но и «смысл».

Фундаментальное свойство перемещаемости породило, как отмечается в лингвистической литературе, "вторую сигнальную систему ("по Павлову)", новую, виртуальную реальность", "реальность №2" и т.п., создало систему с такими качественно новыми свойства­ми, которые встречаются только в человеческом сообществе, но при этом, присущи языкам всех народов. Эти общие свойства (инвариан­ты языка) были названы Универсалиями. Выделим среди универсалий некоторые, кажущиеся нам важными для дальнейшего анализа: (1) рефлек­сивность (базируется на оценке истинности высказывания, показы­вает отношение к сказанному). Первое, что вы оцениваете в том, что вам сказали, правда это или ложь. (2) Уклончивость (характеризует возмож­ность сознательного отклонения от истинности). Здесь речь идет не только о лжи, но и о «выдумке», например о творческой работе писателя. (3) Продуктивность (характеризует возможность генерации новых высказываний без про­верки на истинность). В этом случае речь воспринимается нами просто как новая информация.

В то же время, случайный набор слов, называемый нами обычно "бессмыслицей", "хаосом" или даже "абракадаброй", теряет значение, "ничего не значит", хотя и может быть использован в поэзии для передачи общего состояния, для выражения чувств (тревоги, печали, радости), что нашло отражение, например, в творчестве поэта Велимира Хлебникова. В этом случае поэзия и музыка пересекаются, но ведь никто и не говорит, например, о смысле мелодий Чайковского. Воз­можно, когда – нибудь, при едином "эстетико - интеллектуальном" подходе к системам понадобится объединить понятия естественнонаучного смысла и худо­жественного смысла (художественной "правды"), что необходимо де­лать при разработке концепций Культуры, но мы будем продолжать анализ языка в границах интеллектуальности.

Тогда можно сказать, что только значимая фонетическая конструкцияприобре­тает смысл. Если высказывание или даже отдельное слово обозна­чает реально наблюдаемый факт или обстоятельство, то будем счи­тать его принадлежащим естественному языку. Но так как оно только обозначает, то есть выделяет что - либо, то каждое слово естественного языка является, по сути, феноменом, по определению этого слова. Повидимому, наибольшее число открытий в истории человечества было сделано тогда, когда зарождался естественный язык, так как каждое слово было открытием. В наше время «изобрести» новое слово также трудно, как сделать новое открытие.

Использование слов - феноменов естественного языка в обы­денной обстановке, в которой они приобрели свое первоначальное значение (с уче­том перемещаемости), определяет то, что мы называем «здравымсмыслом».

Научными терминами слова становятся тогда, когда кроме зна­чения они получают определение или понятие, т.е. формализуются. При этом возможности использования этих слов сужаются. Слово научного языка становится моделью слова естественного языка. Такая определенность позволяет использовать «определение» для того, чтобы произвести расчет соответствующей величины. В одной из первых лекций (о механике) мы уже приводили пример о формализации слова «скорость», которую можно понимать и при использовании в других разделах естествознания: «скорость производства товаров» - в экономике, «скорость мышления» - в психологии, «скорость чтения» в литературе и т.п. Соотноше­ние между научным и естественным языками, в связи с проблемой ис­тинности высказываний, исследуются в аналитической философии.

Создание Человеком первых абстрактных, оторвавшихся от естественно­го языка феноменов - слов и чисел, является одной из мировых зага­док, разрешить которые удастся только при понимании общих принци­пов развития, самоорганизации структур и их превращений. Анализ строения мозга человека и его речевых органов, применяемый для объяснения факта рождения языка, хотя и необхо­дим, но в этом смысле ограничен и оторван от общей концепции раз­вития систем, ибо, как точно выразился поэт О. Мандельштам:

«Быть может прежде губ

Уже родился шепот,

И в бездревесности

Кружилися листы».

Восприятие сигналов «в целом» рождает образное мышле­ние, язык которого чаще используется в искусстве и пока не на­шел должного применения в науке, хотя возможно, проявляет себя на уровне интуиции или в процессе преподавания. Искусство, в отличие от современной науки, не сужает, а расширяет возможности слов естественного языка и даже «рождает», как и математика, свой собственный язык.

Одной из главных особенностей работы мозга в отличии от функционирования технических устройств является принцип параллельности обработки различных видов информации, получаемых с помощью анализаторов, расположенных в органах чувств (осязания, звука, …, и т.д.). По отношению к звуковым сигналам (речи) мозг ведет себя как двухканальный анализатор, обрабатывающий лингвистическую смысловую информацию и, так называемую, в науке, «экстралингвистическую» - эмоциональную. Такая возможность мозга определяется различием левого и правого полушарий.

Исследования показывают, что если для вербальной (словесной) информации определяющим фактором является сложность спектра сигнала, его тембр, то для экстралингвистической важна динамика основного тона голоса и другие особенности ударной организации речи. Простейшая аналогия системы восприятия является система напряжений при деформации сжатия и растяжения в веществе, нарушающих однородную симметрию материала. Такого же рода «деформации» в речи передают и воспринимаются, образно говоря, как эмоция, душевное волнение. В одном из экспериментов оказалось, что воспроизведенная запись речи при переходе от прямой к обратной перемотке магнитной ленты, на которой она была записана, теряла смысл. Лингвистическая информация не воспринималась большинством испытуемых людей, а восприятие эмоций оставалось прежним. Это доказывает, что эмоциональная сфера деятельности человеческого мозга не зависит от лингвистической, хотя, очевидно, они являются дополнительными по отношению друг к другу.

Конкретные испытания, проведенные лингвистами по выборке из 26 испытуемых, показали, что большая часть (20 человек) узнали «в обратном времени» голоса своих знакомых, 99% угадали по голосу пол диктора и большинство правильно оценили возраст человека, говорившего «наоборот». При этом, интересно отметить, что эмоции гнева и страха, выраженные артистом при записи, привели к завышенной оценке, а эмоции радости и нейтрального звучания к заниженной оценке возраста чтеца.

Эмоциональная голосовая информация оказалась более помехоустойчивой (по сравнению с лингвистической) не только по отношению действию шума, но и по отношению к частотным ограничениям. Так, при ограничении сверху частоты передачи речи до 300 Гц, почти полностью разрушается смысл речи, в то время, как эмоции и просто узнавание знакомого голоса сохраняется.

Согласно современным представлениям, за механизм образного восприятия «отвечает» правое полушарие мозга человека. В этом случае можно говорить об эмоциональном слухе, степень развития которого может служить одним из объективных критериев принадлежности человека к художественному типу личности (по классификации, упомянутого нами выше, И. П. Павлова – крупнейшего русского физиолога начала 20-го века, лауреата Нобелевской премии). Левое полушарие, ответственное за восприятие смысловой составляющей информации, определяет интеллектуальный тип личности, который легче, чем образы воспринимает абстрактные понятия, оперирует математическими структурами и числами «…потому что все оттенки смысла умное число передает» (Н.Гумилев,1934 г.).

Очевидно, что в любом человеке оба этих «чистых» типовых состояния: смысловое и эмоциональное, перемешаны в индивидуальной пропорции. Следует ли после этого удивляться наличию «двух культур» в человеческом обществе: гуманитарной, порождающей искусство и базирующейся на эмоциях и естественнонаучной, порождающей научно-технический прогресс и базирующейся на математической логике. С другой стороны, так как в каждом человеке эти процессы восприятия существуют совместно, то никаких двух различных культур быть не может – это два проявления единой культуры.

Следовательно, процесс обработки любой полученной человеком информации, идет при «напряжении», создаваемом из за различия в строении левого и правого полушарий мозга (то есть за счет нарушения симметрии). Следовательно, нарушение симметрии это не просто наличие некоторых различий в структурах, а функциональная особенность, порождающая процессы. Возможно, что с этим связано само «мышление». Можно предположить, что задачей большого художника является поиск нарушений симметрии в окружающем нас мире, в состоянии человека и использование в своих произведениях нарушенной симметрии для того, чтобы создать новое эстетическое воздействие.

И я выхожу из пространства

В запущенный сад величин,

И мнимое рву постоянство

И самосознанье причин.

И твой, бесконечность, учебник

Читаю один, без людей, -

Безлиственный, дикий лечебник,

Задачник огромных корней.

(О.Мандельштам,1933г.)

В этих стихах поэта можно усмотреть нарушение симметрии на содержательном (не ритмическом) уровне при использовании четко определяемых в науке слов. Пространство, величина, бесконечность, корни,…приобретают целый спектр неопределимых характеристик. Это подсознательно, эмоционально выводит читателя из его «равнодушного» состояния, приближая к состоянию поэта.

Более подробно будем обсуждать вопросы использования симметрии и ее нарушения в мире искусства при доказательстве «параллельности» движения «двух культур», а вернее, двух элементов единой Культуры: науки и искусства в европейской цивилизации.(§ 5 из учебника [1]).

В то же время, описанный способ накопления, использования информации, ее передачи, а так­же возможность генерации отражает сущность процесса Образования. В человеческом обществе Образование, в свою очередь участвует в рождении другого феномена, феномена общей Культуры, которая в научной литературе имеет около четырехсот определений. Мы же оп­ределим Культуру общества, как и любого феномена, системно, т.е. в виде единства составляющих ее основных элементов: эстети­ческого, интеллек­туального, духовно-нравственного, психического и физического здоровья. В результате возникает схема, представленная на рисунке.

Процесс рождения Культуры и ее развития связан еще с одним фено­меном, по времени более древним, чем человеческое об­щество, с Игрой.

Здесь уместно вспомнить два высказывания об Игре, одно, принадлежащее Й. Хейзинга: "Мы играем, и мы знаем, что мы играем, значит, мы более чем просто разумные существа, ибо Игра есть занятие внеразумное " и другое, А. Эйнштейну: "Понять строе­ние атома - детская игра, по сравнению с Детской Игрой". Цен­ность игры заключается в том, что всякий последующий этап ее про­ведения (тайм, гейм, период, партия и т.п.) базируется на приоб­ретенной ранее запомненной информации, что и позволяет каждый раз добиваться положительных результатов (выигрыша) с меньшими уси­лиями. Если при этом игра имитирует какой - либо вид деятельнос­ти, то и сама реальная деятельность будет требовать меньшего нап­ряжения. В таких случаях игра носит обучающий характер.

В области "высокого" искусства игрой можно считать импровизацию, в области физической культуры - спортивное соревнование, в экономике - бир­жевые игры и т.д. Во всех случаях существует взаимодействие иг­рающего с окружающей средой или другими системами на основе об­щности, согласования или столкновения интересов (партнерство или конкуренция). Проблема оптимизации принятия решений в условиях "логичного" поведения игроков при столкновении интересов состав­ляет основу математической теории игр, окончательно сформировав­шейся в работах одного из основоположников кибернетики фон Нейма­на в сороковые годы двадцатого столетия. Можно констатировать, что в игру вступают целеустремленные системы, обладающие памятью и имеющие, в каком либо смысле, общие интересы. Поэтому,

Игра представляет собой «имитационную форму поведения, основанного, на вы­боре решений в условиях неопределенностей, конфликтов, сотрудничества и конкуренции с цель получения выигрыша». Под выигрышем бу­дем понимать снятие «напряжения», получение новой информации, удовлетворение потреб­ностей, достижение идеала, самореализацию, самосовершенствование, расширение возмож­ностей (увеличение числа "степеней свободы"), самосохранение (устойчивость) и т.п.

Есть и другие определения игры. Для физики и других естественных наук решающим фактом оказалось умение человека «абстрагироваться» и давать определения основным понятиям и новым понятиям, возникающим в творческом процессе мышления.

ЛЕКЦИЯ 2. Язык математики. Основы элементарной и высшей математики.

План лекции:

1. Понятие множества и функции.

2. Понятие предела и производной.

3. Операции дифференцирования и интегрирования.

4. Случайные события и вероятность. Плотность вероятности.

Математика представляет собой наиболее яркий пример формализации информации, поэтому кратко введем основные понятия математики, как «языка, на котором с нами разговаривает природа» (Г. Галилей). Рассмотрим кратко (учебник 2) логику курса математического анализа, зародившегося на стыке физики и математики.

Если определенному свойству элементов множества поставить в соответствие меру этого свойства, то получится множество величин. В математике исследуются числовые множества R – действительных (вещественных) и С– комплексных (мнимых) чисел, I – иррациональных и Q – рациональных, N – натуральных и Z – целых чисел. Каждое из них обладает своими свойствами. Соотношения между числовыми множествами выглядят следующим образом:

В зависимости от обстоятельств или по условию, величины, составляющие множество, могут быть постоянными или переменными. Если в какой-либо науке в качестве элемента множества фигурирует событие, то для определения его мгновенного положения можно использовать пространственно-временную систему координат (x, y, z, t). В этом случае объединяются числовые множества координат и времени для построения математической модели меняющихся событий (процессов). Эти числовые множества часто являются упорядоченными по принципу «больше-меньше» или «раньше-позже», поэтому во многих случаях имеет смысл (вслед за Р.Декартом) использовать системы координатных осей x и y, как представителей упорядоченных числовых множеств.

X

Y

x_i

y_i

y=f(x)

(а)

(б)

y

x

М

y=f(x)

Рис. 2. К определению функции как отношения между X и Y (а).

и вариант отношения между ними в виде графика функции (б)

Анализируя причины и следствия любых процессов, можно строить соответствующие математические модели, задав отношение между множествами, выражающими «причины» и «следствия». Например очевидно, что между количеством проданных товаров (множество Q) и доходом (множество R), полученным от реализации этих товаров, существует отношение, задаваемое с помощью цен (Р). При постоянной цене товара на рынке доход является функцией от количества проданного товара, а поэтому можно говорить о том, что отношение между множествами Q и R задается функцией. Между множествами X и Y задано отношение в виде функции ( рис.2а ), если каждому элементу x_i из множества X найдется соответствующий ему элемент y_i из множества Y, такой, что появление x_i влечет за собой появление y_i. Формально, отношение записывается так: y = f(x) и читается: «y есть функция от x».

Исторически сложилось, что переменную величину x называют аргументом (независимой переменной), а y – зависимой переменной (функцией), в то время как очевидно, что отношение характеризует закон f(x), связывающий переменные. Множество значений x, при которых переменные y являются действительными конечными величинами, называют областью определения функции, а множество соответствующих величин y образуют область значений функции. Говорят, что на множестве X задана функция f(x). Отношения между аргументом и функцией можно представить графически в декартовой системе координат (рис.2б), если на плоскости отметить точку (М) и опустить из нее перпендикуляры на оси координат. В этом случае, каждому значению аргумента с помощью точки М будет поставлено в соответствие определенное значение функции, а все отмеченные точки образуют множество отношений. На рис.2б это множество выглядит в виде жирной кривой линии (графика функции). Рассмотрим основные функции по мере их усложнения.

ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ.

Рассматривая пример с функцией, выражающей отношение «деньги-товар», можно представить связь между ними в виде: R=PQ+R₀ или записать формулу

y = kx+ y₀,

R₀ = 3, P = 2

ТОВАР (Q)

ДОХОД (R)

..

y

x

…

R

Q

(а)

-1,5

(б)

R

Q

-1

-3

β

β

КВАДРАТИЧНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ.

Доход, получаемый от продажи на рынке количества товара Q по цене P за единицу товара легко вычислить, умножая количество товара на его

цену: R = PQ+ R₀, где R₀ может означать величину дохода, полученного на предыдущем этапе. В то же время, сама цена P при различном спросе и

предложении может являться функцией количества товара P(Q). Если эта функция является линейной, то есть P(Q)=aQ +b, то величина дохода в зависимости от количества товара, реализованного на рынке, запишется так: R = PQ + R₀ = aQ² + bQ + R₀. Абстрактно, полученный вид зависимости можно представить следующим образом:

y = ax² + bx + c. Функция y(x) называется квадратичной по наибольшей степени аргумента x, равной двум. Если наибольшую степень аргумента в общем виде обозначить n (n ≥ 2), то функции от таких аргументов называют степенными. При дробном показателе степени (n=1/2, 1/3, …) извлекается корень из переменной x, величина которого приводит к иррациональности для некоторых точек, то есть к невозможности записать соответствующее значение функции конечным числом цифр на всей области определения функции.

Такие иррациональные функции называют степенными функциями с дробными показателями степени.

Исследуем квадратичную функцию, как наиболее простую среди степенных функций. Построение конкретных графиков функций произведем по точкам, используя программу Excel.

Пример 1. y = 2x². (рис.).

y 0 2 8 18 32 50 …..

± x 0 1 2 3 4 5 ……

x

y

График квадратичной зависимости при а = 2, b = 0, c = 0

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ, ОБРАТНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

y = с a^kx , y(x) = log_a x, y = 1 /x,

Выберем в качестве примера одну из периодических функций

y = sin x, график которой с периодом Т = 2π представлен ниже на рисунке. Областью определения функции является x (-∞, ∞), а область значений функции y [-1, 1].

y

x

-1

0

1

-π

-2π

π

2π

T

График функции y = sin x

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Теперь можно дать определение предела функции:

Используя математическую символику, определение предела можно записать следующим образом:

.

В этой записи символ заменяет выражение: «для любого», а символ переводится как «существует». Двоеточие (:) следует понимать как «такое, что». Двойная стрелка означает равносильность утверждений, стоящих от нее слева и справа.

Для решения конкретных задач поиска пределов различных функций примем без доказательства (которые можно найти в курсе математики [1]) перечень основных свойств пределов и необходимых операций. На основе определения пределов функции, в математике предложено определение предела бесконечно малого изменения (приращения) величины (дифференциала) и отношения дифференциалов, которое названо производной: Если для любого x существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, то он равен отношению дифференциалов этих величин, называется производной функции y(x) по переменной x и обозначается со штрихом y’(x) ( или в общем случае f’(x)):.

y

y

y₁

0

x

x₁

x

Δx

Δy

A

Δy_A

Δx_A

B

C

К определению производной

Практический смысл производной заключается в том, что эта величина характеризует, во-первых, скорость протекания процессов. С другой стороны, на соответствующем графике функции видно, что приращение одной величины (Δy) к приращению другой (Δx) определяется тангенсом угла наклона касательной АВ (рис.14) к оси 0x, проведенной в той точке, в которой определяется производная. Поэтому геометрический смысл производной понятен – это (во-вторых) тангенс угла наклона касательной к точке. График функции y(t) описывает траекторию движения точки (тела), а касательная – скорость этого движения в каждой точке, то есть мгновенную скорость, величину которой обычно показывают спидометры в автомобиле. Для цели описания движения точек по сложным криволинейным траекториям Ньютон первым «изобрел» дифференциальное исчисление и научился рассчитывать производные.

Еще одно применение производной можно предложить, анализируя, например, топографическую карту местности (рисунок). На графике высоты горы (в сечении) проведены приращения высот через равные расстояния по оси 0H. Соответствующая карта горы отражает в направлении оси 0x крутизну этой горы. Видно, что уровни высоты горы несимметричны относительно ее вершины, слева гора спадает более круто, чем справа. Это произошло потому, что одинаковым значениям приращений высоты Δh слева и справа соответствует различное приращение координат Δx. Поэтому величина отношения Δh/Δx для левой стороны будет больше, чем для правой.

H

Δh

Δx

x

x

Δh

Линии равных высот на карте горы. К понятию градиента функции.

Крутизна горы слева больше, чем справа и такое же соотношение будут иметь пределы этих отношений, то есть производные. Таким образом, производная характеризует крутизну изменения функции. Латинский термин «градиент» по смыслу совпадает со словом «крутизна», поэтому, в третьих, градиент есть наибольшая величина производной в точке. Градиенты играют основную роль в создании направленных процессов. Любое нарушение симметрии однородности (градиенты) создает потоки: передачу энергии, если температуры тел различны; создает селевые потоки, распространяющиеся в сторону низких высот. Градиенты условий в экономике создают финансовые потоки; градиент потенциала создает в проводнике электрический ток; различие в условиях жизни, какими бы параметрами эти условия не измерять, ведут к миграционным процессам и т.п. Таким образом, если Вы ищете причину какого либо направленного процесса, то ищите нарушение симметрии или градиенты. Наконец, еще один важный пример применения производной является плотность. Вспомните как в школьном курсе определяется плотность вещества и заряда. Формализуйте это понятие.

Операция поиска функции по ее производной является по смыслу, обратным действием по отношению к дифференцированию (дроблению) и называется интегрированием (сложением бесконечно малых, то есть дифференциалов). В общем случае, любая из функций Ф(x), для которой справедливо равенство: Ф’(x) = f(x) во всех точках области определения функции f(x), называется неопределенным интегралом или первообразной для функции f(x). Из определения первообразной очевидно, что левую и правую часть можно умножать или делить на одну и ту же константу, так как равенство от этого не нарушиться: aФ’(x) = af(x).

Поиск первообразной для f(x), естественно, называется интегрированием и записывается следующим образом: Символ обозначает операцию интегрирования, а функция f(x) – называется подинтегральной функцией. Все эти операции необходимы для решения конкретных задач в физике.

Случайные события и вероятность. Плотность вероятности.

В теории вероятностей случайным событием называют такое событие, которое может реализоваться (произойти, появиться), а может не реализоваться в заданном комплексе условий. Количественной мерой определенности появления случайного события является вероятность.

Множество элементарных (недробимых), равновозможных (равноправных), единственно возможных (кроме которых не рассматриваются другие события в данном комплексе условий), и попарно несовместных событий составляют полную группу. Последнее требование попарной несовместности необходимо для того, чтобы элементарные события были различимыми. Полная группа может быть составлена из конечного и бесконечного множества элементарных событий, из которых затем можно составлять сложные события, производя определенные операции.

На рисунке представлен пример наглядного изображения полной группы из n - случайных событий и различные варианты из m-, k-, l- сложных событий, обозначенных заглавными латинскими буквами А и В.

Геометрическая интерпретация случайных событий

Очевидно, что чем большую часть среди всех событий составляет сложное событие А, тем меньше неопределенность, то есть более определенным является его появление. Отсюда следует, что вероятность данного события А, которую обозначим p(A), можно измерить этой долей. Тогда следует записать:. Рассмотрим несколько примеров на вычисление вероятности.

Пример 1. Пусть при случайном бросании монеты на плоскую твердую поверхность фиксируется сверху либо появление герба, либо обратной стороны («решки»). В этом случае вероятность появления герба, т.е. величина р(Г), по определению вероятности, равна 1/2, так это событие одно из двух. Используя понятие вероятности, как доли событий, приходим к формулам сложения и умножения вероятностей для совместных и несовместных событий, а также для зависимых и независимых событий (см. таблицу).

Таблица

СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) р(АВ) = р(А)р_А(В) = р(В)р_В(А)

(события совместны) (события зависимы)

р(А + В) = р(А) + р(В) р(АВ) = р(А)р(В)

(события несовместны) (события независимы)

(формула полной вероятности).

Величину l/m называют (см. рисунок) условной вероятностью события В или вероятностью события В, вычисленную при условии, что А произошло:

р_А(В)= l/m. Если теперь начать практическую проверку теоретически вычисленных вероятностей, то вполне возможно, что ожидаемая доля события А не будет соответствовать реальной частоте появления этого события. Пусть например, при бросании монеты из n =10 испытаний герб появился только m = 3 раза. Тогда относительная частота (частость) появления этого события составляет величину m/n = 3/10, что значительно отличается от 1/2. Даже если увеличить число испытаний до 100, 1000, 10000 и т.д., то и в этом случае точное значение частости, равное 1/2 может и не реализоваться, но при дальнейшем увеличении n или, как говорят, в пределе значение частости будет отклоняться от 1/2 все меньше и меньше, т.е. в пределе, относительная частота события А стремится к величине вероятности, вычисленной из знания полной группы. Кратко этот вывод записываем следующим образом:.

1/2

n

m/n

К частотному определению вероятностей

СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если случайным событием при испытаниях по исследованию признака или свойства процесса является получение численных значений этого признака, то говорят о наборе случайных величин (СВ), так как каждое число из набора возможных значений может появиться, а может не появиться в результате проведенного эксперимента. Если СВ принимает любые значения на числовой оси или в заданном условиями интервале, то говорят о непрерывной случайной величине, если же значения определенные, то есть заданы ограничения, то СВ – дискретна. Рассмотрим пример задания случайных величин.

Числа от 1 до 6, нанесенные на гранях куба (гексаэдра) являются примером дискретной случайной величины, если куб использовать в качестве игральной кости.

Если для каждого значения СВ удается найти соответствующую вероятность, то совокупность этих значений и соответствующих им вероятностей называют распределением вероятностей. В этом случае распределение можно представить в виде таблицы (см. таблицу).

Распределение СВ общего вида (слева) и на грани куба (справа)

Очевидно, что для непрерывной СВ вероятность появления ее точного значения всегда равна нулю, так как она вычисляется отношением нулевых размеров точки к размерам площади не равной нулю. Поэтому имеет смысл сравнивать размеры хотя бы малой площади или интервала Δx к размерам площади или к размерам оси, соответствующим полной группе событий. Если обозначить Δр – вероятность попадания случайной величины x в интервал ее значений Δx, то можно рассчитать вероятность, соответствующую единичному интервалу значений СВ, т.е. вычислить отношение Δр/Δx. По смыслу, данное отношение является плотностью вероятности, которую обозначим как функцию f(x). Наконец, для детального описания необходимо приблизить границы интервала Δx к точке x. При этом, размеры интервала станут бесконечно малыми, но и соответствующая вероятность попадания СВ в этот интервал станет меньше. Тогда можно найти предел отношения Δр/Δx при Δx → 0, и если такой предел существует, то по смыслу он будет характеризовать плотность вероятности, но уже в точке x, принадлежащей бесконечно малому интервалу dx, что кратко запишем следующим образом:

.

С другой стороны, если этот предел существует, то, как было определено в выше, он называется производной и обозначается dp/dx, то есть f(x) = dp/dx. При такой записи каждому бесконечно малому интервалу dx можно поставить в соответствие величину dp – вероятность попадания СВ в этот интервал: dp = f(x)dx. Поэтому функцию f(x) также называют распределением, точнее, дифференциальной функцией распределения вероятностей, но по смыслу плотность вероятности f(x), как и выше, характеризует вероятность появления случайной величины в единичном интервале ее значений.

Для небольших интервалов Δx можно считать, что f(x) практически не меняется на этом интервале и можно записать: Δр = f(x)Δx. Пример, изображенный на рисунке демонстрирует результат построения распределения f(x), где случайной величиной x является координата точки мишени, а вероятность Δр определяется экспериментально частотой, т.е. количеством точек с координатами, попадающими в Δx случайным образом. Из рисунка видно, что вероятность Δр=f(x)Δx численно равна площади заштрихованного столбика и это можно отнести не только к интервалу Δx, но и к любому другому интервалу значений СВ, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Если ступеньки станут очень частыми, т.е. когда в пределе Δx можно заменить на dx, экспериментальная диаграмма перейдет в график идеальной функции плотности вероятности, как это представлено на рисунке (справа). Среди многих функций плотности вероятности распределение, изображенное на этом рисунке,

Построение распределения

встречается очень часто и аналитически график этой функции записывается в виде:

Данная функция исследована Гауссом, носит его имя и называется в теории вероятностей нормальным распределением. Входящие в него величины a и σ являются параметрами распределения, а π и е – иррациональные числа.

Теперь научимся рассчитывать средние характеристики распределений. Начнем с простого примера. Для того, чтобы вычислить среднее значение СВ, появляющейся в результате бросания игральной кости в форме кубика, очевидно, необходимо просуммировать числа, нанесенные на гранях и разделить на общее число граней. Тогда имеем:

и, учитывая, что х₁ =1, х₂ =2,…, х₆ = 6, а р₁ = 1/6, р₂ = 1/6, …, р₆ = 1/6, можно записать формулу для вычисления среднего значения (его называют математическим ожиданием СВ):

,

где i – индекс суммирования по всем значениям СВ. Если количество случайных событий равно, вероятность появления каждого из них определяется как р_i = m_i/n, а общее число событий равно, то среднее значение СВ или, окончательно имеем:

. Если теперь на гранях кубика вместо каждого значения СВ запишем величину, возведенную в квадрат, то для среднего значения новой случайной величины получим:

, или в общем случае, имеем:

. Получили формулу для вычисления среднего значения квадрата случайной величины. Рассуждая аналогичным образом, можно вычислить и дисперсию случайной величины, как ее среднеквадратичное отклонение от среднего значения. В этом случае имеем:. Далее, можно вычислить среднекубическое отклонение СВ и среднее значение четвертой степени отклонения от x_ср (эти параметры распределения называют, соответственно, третьим и четвертым

моментами СВ):

,

Для непрерывных случайных величин формулы средних значений трансформируем следующим образом:

· вместо x_i записываем текущую координату х;

· вместо вероятности р_i записываем dp=f(x)dx, т.е. вероятность попадания в бесконечно малый интервал dx значений СВ;

· вместо суммы вводим сумму бесконечно малых величин, которая, как известно, называется интегралом.

В результате имеем еще один набор формул для вычисления средних значений случайной непрерывной величины.

;;

;;

Для нормального распределения х_ср= а, D =σ², μ₃ =0, μ₄ =3. Для других распределений величину μ₃/σ³ =As называют коэффициентом ассимметрии и этот коэффициент тем больше, чем значительнее нарушена симметрия распределения по сравнению с нормальным. Величину, равную μ₄/σ⁴ –3=Эк называют эксцессом. Эта величина также характеризует нарушение формы кривой («островершинность» или «плосковершинность») по сравнению с нормальным распределением.

При переходе от теоретически рассчитанных вероятностей к частотам, получаемым в эксперименте, важно понять различие между «частотной» плотностью вероятности f(x)=Δp/Δx и функцией плотности f(x)=dp/dx. В первом случае, вероятность Δp=f(x)Δx геометрически соответствует размерам площади под графиком (см. рис.36), опирающейся на интервал Δx, а во втором, размеры этой площади бесконечно малы. Так как СВ может попасть или в один интервал Δх₁, или в соседний –Δх₂, или…и т.д., то для поиска вероятности попадания величины х в относительно большой интервал (от а до b на рис.36), необходимо воспользоваться теоремой сложения вероятностей для несовместных событий (если считать, что СВ не может попасть сразу в несколько интервалов). Сложение же бесконечно малых dp, как мы уже говорили ранее, требует умения решать интегралы от функции распределения в заданных пределах. С другой стороны, оценка величины соответствующей вероятности может быть сделана, как в теоретическом, так и в эмпирическом распределении, по размерам площади «столбиков», опирающихся на интервал от а до b (рис.36). Переход от гистограммы к табличной форме задания распределения можно проделать в качестве упражнения самостоятельно, используя гистограмму, представленную на рис.39 Приложения II. По теореме полной вероятности сумма всех вероятностей (всех площадей) должна характеризовать вероятность достоверного события, т.е. равняться единице, а тогда и интеграл

=1

Последнее выражение называют условием нормировки функции плотности вероятности. Однако, если экспериментальные данные оказались ограниченными между точками х_Н -нижней границей экспериментальных данных и х_В – верхней границей, то и на графике функции f(x) площади, расположенные под графиком слева от нижней границы и справа от верхней в расчетах не участвуют (отброшены). Поэтому вся площадь под кривой распределения уже не соответствует 100% возможностей, а размеры Δх, взятые от т.Н до т.В определяют так называемый доверительный интервал. Если например, в нормальном распределении доверительный интервал ограничен точками х_Н=х_ср–σ и х_В=х_ср + σ, то площадь под графиком составляет 68,3% от всей площади под кривой (соответственно, вероятность р(–σ<х–х_ср<+σ)= 0,683). Если х_Н=х_ср­– 2σ и х_В=х_ср+2σ, то размеры площади «доверия» составляют 95,4%, а при отклонениях х от х_ср равных± 3σ вызывает наибольшее доверие, т.к. соответствующая площадь составляет величину 99,7% от полной площади под кривой распределения.

ЛЕКЦИЯ 3. Научный подход к познанию Мира. Естественные науки. Наука и ее определение.

План лекции:

1. Наука и ее определение.

2. Классификация наук.

Различные интернет-источники определяют науку неоднозначно. Приведем примеры.

Наука – это система постоянно развивающихся знаний о природе, обществе и мышлении.

Наука – это область интеллектуальной деятельности, осуществляющая выявление и изучение причинно-следственных связей между различными явлениями действительности.

Наукой является кодирование знаний, построение моделей различных объектов и систем, расчет (предсказание) на этой основе поведения конкретных объектов и систем.

В науке и для науки интересно все. Даже само слово наука. Этимология (от греческого etymon — истина; основное значение слова + логия) русского слова “наука” такова. Это общеславянское слово, образовано оно с помощью приставки “на” и от исчезнувшего славянского слова “ука” — ученье. Так что в чисто русском варианте термин наука буквально означает научение. В большинстве же европейских языков синоним нашего слова наука происходит от латинского слова “scientia” (произносится сцентиа а на английском сайнс), что в переводе означает знание. Видно, что дать однозначное научное толкование этого понятия и понятия самой науки — задача трудная, если не сказать вечная.

В широком смысле слова наука есть, во-первых, форма общественного сознания, во-вторых, сфера человеческой деятельности, в-третьих, система социальных институтов (здесь институты понимаются как элементы социальной структуры общества, но не только как учебные заведения).

В данном учебном курсе нас должен более всего интересовать первый аспект определения науки, т. е. ее интеллектуальная форма, которая непосредственно связана и с определением естествознания. Именно естествознание — это система представлений и понятий о явлениях, естественно существующих в реальном мире. Кстати, привычное, казалось бы, русское слово естествознание необыкновенно философично, глубоко по смыслу. В самом деле, рассмотрим (упрощенно) толкование слова естествознание. Оно заимствовано из старославянского (ст. сл.) языка и образовано из ст.-сл. слова естество (представляющее собой кальку греческого ousia — сущность, бытие) и из слова знание, что дает буквальное толкование исследуемого слова — знание о бытии, знание о сущности, следовательно, естествознание есть, как таковое, - онтология (буквально по греч. — учение о бытии). С другой стороны, многие энциклопедические словари определяют естествознание просто как естественную историю. (события!).

Теперь о сути самой науки, как составляющей части (области) культуры. Ее основная функция — выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности; ее результат — сумма знаний, лежащих в основе научной картины мира. Наука также есть обозначение отдельных отраслей научного знания. Непосредственные цели науки — описание, объяснение и предсказание процессов и явлений действительности, составляющих предмет ее изучения, на основе открываемых ею законов.

Система (классификация) наук в современную эпоху (начало XXI века) условно делится на естественные, общественные, гуманитарные и технические науки. Зародившись в древнем мире, в античные времена, в основном в Западной Европе, в странах Средиземноморья, наука, как отрасль культуры и духовности, начала складываться с XVI-XVII веков (с наступлением Нового времени). В ходе исторического развития наука превратилась в важнейший социальный институт, оказывающий значительное, иногда решающее, влияние на все сферы жизни общества и культуры в целом. Ход исторического развития науки позволяет констатировать, что объем научного знания и научной деятельности удваивается с XVII до середины XX века каждые 10-15 лет, а последние 50 лет за каждые 7-8 лет (рост открытий, научной информации, числа научных работников и т. д.). За эти последние четыре столетия неоднократно изменялась ее структура, принципы познания, категории и методы, а также форма организации науки, формировалась и ее философия. Наука становится непосредственной производительной силой в обществе.

Неоднократно изменилось и определение самой науки. Как уже отмечалось, наука, в западном ее варианте, стала формироваться в XVI-XVII веках, прежде всего, усилиями англичанина Френсиса Бэкона и француза Рене Декарта. Они, развивая логическую и методологическую линии (то есть логику и методы познания природы) величайшего античного эллина (грека) Аристотеля и средневекового мыслителя Роджера Бэкона, ввели в науку основополагающие для того времени методы (буквально с греческого methodos — путь к чему-либо): индукции и дедукции. Эти методы были обоснованы как основной инструмент познания, а наука — как средство покорения природы. Эксперимент был ими указан как главный прием научного исследования или испытания природы (вспомните русское слово “естествоиспытатель”). Стиль мышления в науке, со времен Бэкона и Декарта, Браге и Кеплера, Коперника и Бруно, Галилея и Ньютона, характеризуется: 1) опорой на эксперимент (то есть, с опорой на органы чувств человека, например, наблюдение, в астрономии и на приборы – как продолжение наших органов чувств), 2) господством аналитического (логически рационального, математического) подхода, направляющего мышление на поиск простейших кирпичиков, первоэлементов реальности, из которых строится «Всё» (концепция редукционизма в философии). Так исторически возникла наука как своеобразный тип западноевропейской культуры, соединивший в себе чувственность с рациональностью. Это позволяет

Дата добавления: 2013-12-13