Ordm;. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам

Ordm;. Мера Жордана в пространстве.

Рассмотрим разбиение пространства на кубы ранга с помощью плоскостей,,,. Обозначим количество кубов ранга, содержащихся во множестве и − количество кубов ранга, пересекающихся с множеством. Пусть ещё.

Определение. ВнутреннеймеройЖордана множества называется величина. Внешней мерой Жордана множества называется величина. Множество называется измеримым по Жордану или кубируемым, если. Их общее значение называется просто мерой этого множества или его о бъёмом.

2º. Определение тройного интеграла. Пусть − кубируемое, ограниченное множество и − функция, определенная на этом множестве. Рассмотрим разбиение на неперекрывающиеся кубируемые подмножества и выберем точки. Обозначим − объём множества и диаметр этого множества. Назовем мелкостью разбиения величину. Образуем интегральную сумму Римана.

Определение. Если существует предел, то функция называется интегрируемой по Риману на множестве, в записи −, а сам предел называется тройным интегралом и обозначается или.

Точно так же, как в одномерном и двумерном случаях, формулируются и доказываются критерий интегрируемости, теорема о существования тройного интеграла от непрерывной функции и основные свойства интеграла. Отметим только, что средним интегральным в трёхмерном случае называют величину

.

Замечание. По той же схеме определяется мера Жордана и интеграл в пространстве при любом натуральном.

Пусть,; − сечение множества гиперплоскостью и пусть − проекция на подпространство (т.е. на подпространство первых координат).

Теорема. Пусть существует интеграл и пусть при любом значении существует интеграл по сечению. В таком случае существует повторный интеграл. При этом.

Отметим частные случаи, когда: 1) и 2).

Дата добавления: 2013-12-13