П. 4. Постановка задач для уравнения теплопроводности

Тепловые явления играют в природе особую роль, ведь практически все процессы в той или иной степени связаны с изменением температурного состояния и переносом теплоты. Поэтому в дифференциальных уравнениях математической физики исключительное внимание уделяется теории теплообмена, особенно в связи с созданием и развитием аналитических методов решения краевых задач уравнения теплопроводности и ему родственных.

Аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных разделов современных инженерных исследований в различных отраслях промышленности, так как целый ряд физических и химико-технологических процессов аналогичен задачам стационарной и нестационарной теплопроводности.

Рассмотрим изотропное твердое тело, температура которого в точке в момент времени определяется функцией . Будем считать тело изотропным в отношении теплопроводности, что означает, что коэффициент внутренней теплопроводности зависит только от точки тела и не зависит от направления нормали к поверхности в этойточке. Пусть в данном теле распространяется тепло, причем, если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым. С помощью закона Фурье можно вывести уравнения распространения тепла в данном теле:

, (1.7)

где – теплоемкость вещества, – его плотность.

Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородного изотропного тела.

Для полного математического описания процесса распределения тепла в изотропном твердом теле дифференциальное уравнение (1.7) необходимо дополнить условиями однозначности, которые включают в себя

− геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

− физические условия, характеризующие физические свойства тела и окружающей среды;

− временные условия, определяющие распределение температуры внутри тела в начальный момент времени;

− граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

Начальное условие задает значение искомой функции во всех точках тела в начальный момент времени . Полагая , имеем

, (1.8)

где – известная функция, определенная и непрерывная во всех точках тела.

Граничные условия задаются различными способами в зависимости от температурного режима на границе исследуемой области:

1) граничное условие первого рода – в каждой точке поверхности тела задается значение искомой функции

, (1.9)

где – известная функция, определенная и непрерывная во всех точках поверхности и любой момент времени ;

2) граничное условие второго рода – в каждой точке поверхности тела задается тепловой поток , откуда

3) , (1.10)

где – известная функция, определенная и непрерывная во всех точках поверхности и любой момент времени ;

4) граничное условие третьего рода – на поверхности тела происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой известна. По закону Ньютона–Рихмана количество тепла, передаваемое за единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды , где – коэффициент теплообмена. По закону сохранения энергии это количество тепла равно количеству тепла, передаваемому через единицу поверхности за единицу времени вследствие внутренней теплопроводности тела. Поэтому на поверхности имеем =. Полагая, , приходим к следующему граничному условию

, (1.11)

где – единичный вектор внешней нормали к поверхности .

Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твердом теле формулируется так: найти решение уравнения теплопроводности (1.7), удовлетворяющее начальному условию (1.8) и одному из граничных условий (1.9), (1.10) или (1.11).

Дата добавления: 2013-12-13