Производная функции, заданной параметрически

Определение 2.1. Функция называетсязаданной параметрически, если переменные: аргумент и функция определены как функции переменной t:

(2.1)

Рассмотрим примеры функций, заданных параметрически.

Пример 2.1. Функция:

(2.2)

представляет полуокружность, расположенную в верхней полуплоскости декартовой системы координат (рис. 2.1). Покажем это.

Рис. 2.1

Возвысим в квадрат левую и правую части обоих уравнений и сложим их, получим:

,

Но , и последнее уравнение примет вид:

(2.3)

Уравнение (2.3) –уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. Разрешим уравнение относительно и возьмем арифметический корень. Получаем функцию:

(2.4)

Функция (2.4) полностью соответствует функции (2.2).

Пример 2.2. Функция:

(2.5)

представляет линию (траекторию), которую описывает точка обода колеса, катящегося прямолинейно по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Такая линия называется обыкновенной циклоидой. Траектория представлена на рисунке 2.1.

Рис. 2.1

Приведем формулы, по которым вычисляются производные первого и второго порядков от функции, заданной параметрически. Понятие производной второго порядка будет подробно изучено в следующей лекции. Здесь мы коротко скажем: производная второго порядка – это производная от производной первого порядка.

(2.6)

(2.7)

Рассмотрим применение формулы (2.6) на примерах нахождения производной первого.

Задача 2.1. Найти производную функции :

Решение.

Ответ.

Задача 2.2. Найти первую и вторую производные функции :

Дата добавления: 2013-12-13