Правила дифференцирования. Обзор методов дифференцирования

Обзор методов дифференцирования

В обзоре мы рассмотрим основные факты дифференциального исчисления и проиллюстрируем их примерами.

2.1. Определение понятия производной,
ее механический и геометрическтй смысл

Определение 2.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему это приращение приращению аргумента , когда (если этот предел существует) и обозначается символом:

(2.1)

Механический смысл производной: Производная пути по времени – это скорость движения тела в данный момент времени.

Геометрический смысл производной: значение производной при данном значении аргумента численно равно тангенсу угла , образованного касательной к графику функции с положительным направлением оси в соответствующей точке .

1⁰. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций (свойство аддитивности):

если то (2.2)

2⁰. Производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на вторую и первой на производную второй:

если то (2.3)

3⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (свойство однородности):

если , то (2. 4)

4⁰. Производная частного от деления двух функций равна дроби, числитель которой равен разности произведений первой функции на вторую и первой на производную второй, а знаменатель равен квадрату делителя:

если , то . (2.5)

Рассмотрим примеры использования формул (2.2)-(2.5) при дифференцировании функций.

Найти производные следующих функций:

1⁰.

2⁰. .

3⁰. .

Дата добавления: 2013-12-13