Функция представляет дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами

Бесконечно малые функции. Неопределенность типаи способы ее раскрытия

Определение 1.1. Функция называется бесконечно малой (БМФ) при стремлении к , если ее предел равен нулю,

(1.1)

Если в определении (1.1) стремится к бесконечности, то равенство (1.1) примет вид:

(1.1

Примеры.

При раскрытии неопределенности в предлагаемом разделе мы рассмотрим два случая.

Для раскрытия неопределенности следует разложить числитель и знаменатель дроби на множители. Среди множителей окажется и множитель, обращающий в ноль числитель и знаменатель дроби (в соответствии со следствием из теоремы Безу). Сокращение на этот множитель позволит раскрыть неопределенность.

Проиллюстрируем сказанное решением задачи.

Задача 1.1. Найти предел функции:

(1.2)

Решение. Подставим в данную дробь , получим:

Получили неопределенность типа .

Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель и знаменатель дроби (1.2).

, , ,

,

Подставим полученные разложения в числитель и знаменатель дроби (1.2):

.

Замечание. Сокращение дроби на двучлен означает деление на этот двучлен числителя и знаменателя дроби. Но при двучлен обращается в нуль, а деление на нуль недопустимо. В нашей задаче , но . Поэтому величина – это предел, к которому стремится дробь (1.2), а не ее значение. Дробь (1.2) при не существует!

Задача 1.2. Найти предел функции:

(1.3)

Решение. Подставим в дробь значение :

Имеем неопределенность типа . Для ее раскрытия разложим на множители числитель и знаменатель дроби (1.3):

Подставим полученные разложения в числитель и знаменатель дроби (1.3):

Дата добавления: 2013-12-13