Оценка точности метода наименьших квадратов. На опыте получены значения x и y, сведенные в таблицу x y 5,2 6,3 7,1 8,5 9,2 10,0

Пример 1

На опыте получены значения x и y, сведенные в таблицу

x
y	5,2	6,3	7,1	8,5	9,2	10,0

Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов.

Решение. Находим:

x_i=21, y_i=46,3, x_i²=91, x_iy_i=179,1.

Записываем уравнения (8) и (9)

91a+21b=179,1,

21a+6b=46,3,

отсюда находим

a=0,98 b=4,3.

Дадим оценку точности метода для линейного случая, когда имеет место уравнение (2).

Пусть опытные значения x_i являются точными, а опытные значения y_i имеют случайные ошибки с одинаковой дисперсией для всех i.

Введем обозначение

(16)

Тогда решения уравнений (8) и (9) можно представить в виде

	(17)
	(18)
где
	(19)
Из уравнения (17) находим
	(20)
Аналогично из уравнения (18) получаем
	(21)
так как
	(22)
Из уравнений (21) и (22) находим
	(23)

Уравнения (20) и (23) дают оценку точности коэффициентов, определенных по уравнениям (8) и (9).

Заметим, что коэффициенты a и b коррелированы. Путем простых преобразований находим их корреляционный момент.

(24)

Уравнения (20), (23) и (24) позволяют найти оценку для ошибки y, которую дает уравнение (2) в произвольной точке x, если коэффициенты a и b найдены по уравнениям (8) и (9). Из уравнений (2), (20), (23) и (24) находим

(25)

На основании уравнений (20), (23) и (25) можно сделать следующие выводы:

1.Точность коэффициентов a и b тем выше, чем больше s_x, т.е. чем больше рассеивание опытных точек на оси x.

2.Точность коэффициента b тем выше, чем меньше .

3.Ошибка уравнения (2) наименьшая в точке, где , и наибольшая в точках, где величина имеет наибольшее значение.

Рассмотрим на примере использование уравнений (20)-(25).

Дата добавления: 2013-12-13