Логические функции двух переменных

Таблица истинности функции двух переменных Y = f(X1, Х2) содержит 4 (2²=4) строки, а число функций двух переменных равно 16 (2²ⁿ = 16).

Рассмотрим основные функции двух переменных.

1. Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):

Y= X1 + X2 = X1 v X2

Техническая реализация этой функции два параллельно соединенных ключа:

Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 + X2

Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

Х1	1 (ИЛИ)
	Y
Х2

илитак: Х1

Х2

2. Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпадений):

Y = X1*X2 = X1&X2 = X1 Λ X2

Техническая реализация этой функции два последовательно соединенных ключа:

Таблица истинности логического И имеет вид:

X1	X2	Y= X1 * X2

Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:

Х1	И (&)
	Y
Х2

или так:

3. Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)

Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 + X2

Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

4. Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1X2 = NOT(X1X2)

Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 X2

Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

5. Исключающее ИЛИ (сложение по модулю два):

Y= X1*Х2 +Х1*X2 = NOT X1 * X2 v X1 * NOT X2 = X1 xor X2

Таблица истинности исключающего ИЛИ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 xor X2

Логический исключающее ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

Х1	=1
	Y
Х2

6. Импликация – бинарная логическая операция (в русском языке этой логической операции соответствуют союзы: если …, то; когда …, тогда; коль скоро …, то). В логических формулах операция импликации записывается следующим образом: Х1à Х2.

Таблица истинности импликации (à) имеет вид:

X1	X2	Y= X1 à X2

7. Эквивалентность – бинарная логическая операция (в русском языке этой логической операции соответствуют союзы: если и только если …, тогда и только тогда …). В логических формулах операция импликации записывается следующим образом: Х1↔ Х2 или Х1≡Х2.

Таблица истинности эквивалентности (↔) имеет вид:

X1	X2	Y= X1↔X2

Приоритет выполнения логических операций: отрицание (NOT), конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация, эквивалентность.

Упрощение формул в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на следующие основные законы (эквивалентные соотношения):

1. Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

Х1*(Х2*Х3) = (Х1*Х2)*Х3 = Х1*Х2*Х3;

X1 v (X2 v X3) = (Х1 v Х2) v Х3 = Х1 v Х2 v Х3

2. Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

Х1*Х2 = Х2*Х1;

X1 v X2 = Х2 v Х1

3. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

Х1*(Х2 v Х3) = Х1*Х2 v X1*Х3

4. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:

X1 v (X2 * X3) = (Х1 v Х2)*(X1 v Х3)

Дата добавления: 2013-12-13