Предел числовой последовательности

Определение. Число называется пределом последовательности чисел (в записи или ), если при любом при почти всех выполняется неравенство , т.е. .

Определение. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .

Определение. Мы будем называть бесконечно большой (б.б.) последовательностью, и писать , если .

Последовательности, имеющие конечный предел, называются сходящимися.

Упражнение 1. Последователь не может иметь более одного предела.

Упражнение 2. Если последовательность имеет предел (конечный или бесконечный), то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Упражнение 3. Пусть и пусть . В таком случае ─ бесконечно малая последовательность тогда и только когда, когда последовательность− бесконечно большая. Таким образом, б.м. и б.б. последовательности взаимно обратны по величине.

Лемма 1. тогда и только тогда, когда , где − б.м. последовательность.

Доказательство. , где .

Лемма 2. Всякая сходящаяся последовательность ограниченна.

Доказательство. Пусть и пусть . Т.к. , то , если . Поэтому .

Дата добавления: 2013-12-13