Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

Классификация точек разрыва.

По определению, если функция непрерывна в точке , то существуют и конечны оба односторонних предела и при этом . В точке разрыва какое-либо из этих условий нарушено.

Говорят, что функция имеет в точке разрыв первого рода, если оба односторонних предела существуют и конечны, но не выполняется хотя бы одно из указанных равенств. В частности, − точка устранимого разрыва, если , если же , то называется точкой скачка; величиной скачка называют разность .

Говорят, что функция имеет в точке разрыв второго рода, если разрыв в этой точке не относится к первому роду, т.е. пределы или не существуют или бесконечны. В частности, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то функция имеет бесконечный разрыв.

Примеры

1. . Эта функция имеет при устранимый разрыв, так как . Для устранения этого разрыва достаточно доопределить эту функцию по непрерывности, положив .

2. . Эта функция имеет скачок в каждой целочисленной точке и .

3. . Здесь , , поэтому 0 − точка бесконечного разрыва.

4. . Так как и не существуют, то, как и в предыдущем примере, при имеем точку разрыва второго рода.

Определение. Функцию мы будем называть непрерывной на отрезке и писать (− начальная буква слова continuous − непрерывный), если непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка и односторонне непрерывна в его концах, т.е. , .

Теорема 1. (Теорема Коши о прохождении через нуль.) Пусть . Если на концах отрезка принимает значения разных знаков, то обращается в нуль внутри отрезка, т.е. если , то .

Доказательство. Пусть, например, и. Мы будем писать дальше и . Обозначим . Если , то полагаем и доказательство закончено. Если же , то из двух отрезков и выбираем тот, на концах которого функция меняет знак. Обозначим концы этого отрезка .
Ясно, что . Обозначим . Если , полагаем и считаем, что доказательство закончено. Если , то обозначаем ту половину предыдущего отрезка, где .

При продолжении этот процесс либо оборвется из-за того, что одно из чисел окажется корнем функции , либо будет построена бесконечная последовательность вложенных стягивающихся отрезков таких, что . В точке функция обращается в нуль, т.к. и . Доказательство окончено.

Следствие. (Теорема Коши о промежуточном значении.) Пусть . В таком случае принимает внутри отрезка все значения, промежуточные между числами и .

Доказательство. Пусть − значение, промежуточное между числами и . Тогда функция удовлетворяет всем условиям теоремы о прохождении через нуль. В таком случае найдется точка такая, что , но тогда .

Теорема 2. (Теорема Вейерштрасса о наибольшем значении.) Пусть . В таком случае

1) функция ограниченна на этом отрезке;`

2) функция принимает в точках этого отрезка свое наибольшее (и свое наименьшее) значения.

Доказательство пункта 1). Предположим, что функция неограниченна сверху. В этом случае для любого натурального найдется точка , в которой . Теоремы Больцано-Вейерштрасса утверждает, что из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть − предел этой подпоследовательности. Тогда, с одной стороны, по свойству локальной ограниченности должна быть ограниченной в окрестности точки , а с другой − . Полученное противоречие доказывает, что функцияограниченна сверху. Точно так же доказывается ограниченность снизу.

Доказательство пункта 2). Т.к. множество значений, принимаемых функцией на отрезке , ограниченно, существует . Докажем, что существует такая точка , где . Если это было бы не так, непрерывная функция принимала бы только положительные значения. Тогда функция была бы непрерывной на отрезке . Согласно пункту 1) существовало бы положительное число такое, что при всех . Но тогда мы бы имели неравенство на отрезке , а этого быть не может, т.к. .

Определение. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если .

Ясно, что функция, равномерно непрерывная на промежутке, непрерывна в каждой его точке.

Простейшие контрпримеры показывают, что обратное утверждение не верно.

Контрпримеры: 1). ; 2). .

Теорема 3. (Теорема Кантора о равномерной непрерывности.) Если , то эта функция равномерно непрерывна на отрезке .

Доказательство. Предположим противное. Это означает существование такого, что найдутся значения , для которых , но . Ввиду теоремы Больцано-Вейерштрасса можно считать, что обе последовательности сходятся. Ясно, что они должны иметь один и тот же предел, скажем . По условию теоремы функция непрерывна в точке , следовательно . А это противоречит тому, что , .

Теорема 4. (Теорема об обратной функции) Если функция непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке , где существует обратная к ней функция , т.е.. При этом обратная функция также является непрерывной и строго монотонной.

Лемма. Если функция монотонна в окрестности точки и не пропускает там промежуточных значений, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство леммы. Слева от точки функция ограничена сверху числом . Поэтому существует . Точно так же существует предел . При этом для любого, будет , а для любого будет . Отсюда видно, что , иначе, функция пропускала бы много значений, промежуточных между числами . Например, она пропускала бы все числа из объединения интервалов .

Доказательство теоремы 4. Так как функция строго возрастает, то отображение является взаимно однозначным. Отсюда следует существование обратной функции , которая также строго монотонна. Функция не пропускает промежуточных значений, так множество принимаемых ею значений совпадает с отрезком . Согласно лемме функция непрерывна на множестве .

Дата добавления: 2013-12-13