Формула Тейлора. Задача.Дана функция , имеющая производных в окрестности точки

Задача. Дана функция , имеющая производных в окрестности точки . Подобрать алгебраический многочлен степени такой, что .

Решение. Это − многочлен , в краткой записи . Многочлен называется n-м многочленом Тейлора функции .

Доказательство. Ясно, что . Далее,

.

Поэтому . Ч. и т. д.

Замечание 1. Из линейной независимости системы степенных функций следует единственность решения рассматриваемой задачи.

Для того, чтобы понять насколько хорошо многочлен Тейлора приближает исходную функцию, необходимо изучить так наз. остаточный член . Равенство

называют формулой Тейлора с остаточным членом . Изучим величину .

Теорема. Если функция принадлежит классу , то есть имеет непрерывные производные прядка на отрезке , то для любого , принадлежащего этому отрезку, существует такое число , заключенное между числами и , что остаточный член может быть представлен в виде

(остаточный член в форме Лагранжа).

Доказательство. Положим . Тогда, очевидно, будет , . Кроме того, , . Применяя многократно теорему Коши о среднем значении, получим

,

где заключено между числами . Доказательство закончено.

Следствие. При тех же условиях можно утверждать, что

(остаточный член в форме Пеано).

Замечание 2. Если несколько усложнить рассуждения, то можно доказать последнее утверждение при условии, что существует (и, разумеется, производные меньших порядков существуют в окрестности этой точки).

Дата добавления: 2013-12-13