Направление выпуклости и точки перегиба функции

Определение 1. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если на этом отрезке любая дуга ее графика лежит ниже хорды. Мы будем это записывать с помощью значка “”. Аналогично определяется выпуклость вверх “”.

Для получения аналитического условия выпуклости нам понадобятся 2 леммы.

Лемма 1. Если существует , то .

Доказательство. По формуле Тейлора . Складывая, получаем и т. д.

Лемма 2. Если и − уравнение хорды графика этой функции на участке , то найдется число такое, что .

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию . Легко при фиксированном значении подобрать параметр так, чтобы было ; именно . Так как функция обращается в нуль в точках , то применяя дважды теорему Ролля, видим, что в при некотором будет. Но . Поэтому или . Подставляя вместо в выражение для , получаем .

Теорема 1. Если то на отрезке тогда и только тогда, когда

на отрезке .

Доказательство. Если , то , . Из леммы 1 следует, что .

Наоборот, пусть на интервале . Применим лемму 2 к отрезку , где . Тогда мы имеем , т. е. .

Для запоминания можно использовать “ правило воды ”.

Добавление. Можно в определении выпуклости заменить хорду графика касательной. Легко доказать, что функция выпукла вниз на отрезке тогда и только тогда, когда на этом участке любая дуга графика лежит вышекасательной, проведенной к графику в промежуточной точке.

Определение 2. Пусть производная непрерывна . Точка называется точкойперегиба функции , если в левой и правой полуокрестностях имеет противоположное направление выпуклости.

Теорема 2. (Необходимое условие перегиба в точке). В точке перегиба функции её вторая производная равна нулю или не существует.

Доказательство. По теореме 1 в точке перегиба функции ее производная имеет экстремум. Поэтому там рана нулю или не существует.

Это условие не является достаточным. Контрпримером может служить, функция .

Теорема 3. (Достаточное условие перегиба, использующее только ). Пусть производная непрерывна в точке и сохраняет знак в полуокрестностях этой точки. Если эти знаки противоположны то − точка перегиба, если одинаковые, то − перегиба нет.

(Следует из определения точки перегиба и теоремы 1.)

Теорема 4. (Достаточное условие перегиба, использующее старшие производные). Пусть , . В таком случае, если − четное число, то не является точкой перегиба функции , если же нечетное, то − точка перегиба.

Доказательство. Из условия следует, что .

Если здесь четное, то знак второй производной сохраняется в окрестности точки и, следовательно, перегиба здесь нет. Если нечетное, то знак разный справа и слева от точки и потому − точка перегиба функции .

Дата добавления: 2013-12-13