Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Неявные функции и их производные




.

Производная композиции (производная сложной функции).

Рассмотрим отображения , и их композицию , т.е. . Эту ситуацию можно увидеть на следующей схеме:

.

Теорема. Если отображение дифференцируемо в точке , а дифференцируемо в точке , то их композиция дифференцируема в точке . При этом , т.е. производная композиции равна композиции производных отображений.

Доказательство. При условиях теоремы будет

и

.

Поэтому получим . Ч и т.д.

Краткая формулировка теоремы: матрица композиции равна произведению матриц

Сравните со случаем функций одной переменной.

Пример 1. Пусть , где , и . Здесь . В матричном виде получаем

,

или в подробной записи: .

Упражнение. Дать новый вывод формулы

.

 

Рассмотрим вопрос о существовании “неявной функции”. В простейшем случае − это вопрос о существовании функции , являющейся решением уравнения и удовлетворяющей начальному условию . Начнём с функции . Ясно, что в этом случае, если 1) , 2) , то , при этом . Возвращаясь к уравнению и рассуждая не строго, получаем:

,
откуда следует равенство .

Перейдём теперь к аккуратному изложению.

Теорема. Предположим, что функция удовлетворяет следующим трём условиям:

1) ;

2) и непрерывны в окрестности точки ;

3) .

В таком случае существуют положительные числа и функция , для которой в прямоугольнике условия и равносильны. На отрезке функция непрерывно дифференцируема, а её производная равна .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 601; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.