Замена переменной в неопределенном интеграле

Таблица основных неопределенных интегралов

Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. ,но ,.

2. (свойство линейности интеграла).

Замечание 2. Операция интегрирования выводит из класса элементарных функций. Примеры неэлементарных интегралов от элементарных функций: , , и др. Доказательство неэлементарности некоторых интегралов первыми дали Лиувилль и Чебышёв.

Нам будет необходима таблица неопределенных интегралов. В простейших случаях табличные интегралы получаются непосредственно из табличных производных, так как интегрирование − действие обратное дифференцированию. В более сложных случаях нам придется наметить пока только левые части табличных соотношений, а окончательное оформление отложить ненадолго.

Заметим, однако, что техника интегрирования, в отличие от техники дифференцирования не сводится к использованию таблицы и нескольких правил. Она в большой степени являетсяискусством.

(незавершенная).

1. .

2. .

3. .

4^*.

5. 5’. .

6. . 6’. .

7. . 7’. .

8. . 8’.

9. . 9’. .

10^*.

11^*.

12. .

13. .

14. .

15. .

16^*.

17^*.

Теорема. Пусть − функция класса , а обладает первообразной функцией на интервале . Тогда

1. .

Если, кроме того, производная сохраняет знак на интервале , то

2. ,

где − функция, обратная по отношению .

Доказательство. 1. Правило дифференцирования сложной функции даёт:

.

2. Так как производная сохраняет знак, то замена монотонная. Поэтому существует обратная функция , непрерывная на интервале . Если подставить в уже доказанное соотношение 1. , то получим

. Ч. и т. д.

Вычислить интегралы: , , , .

Решение. 1. Пусть . Тогда , т.е. . Следовательно, .

2. Делаем замену: или . При этом , , . Поэтому .

3. .

Это − табличный интеграл 10^*. . Из него сразу следует еще одна табличная формула: 11^*. .

4. Сделаем замену , или (монотонную). При этом и . Поэтому =

. Это приводит нас к формуле
16^*. .

Дата добавления: 2013-12-13