Сходимость интегралов от неотрицательных функций

Основные свойства несобственных интегралов.

Из свойств римановского интеграла и теорем о пределах вытекают следующие свойства несобственных интегралов.

1. Аддитивность: , если сходится интеграл по самому широкому из упомянутых промежутков.
2. Линейность: , если сходятся оба интеграла справа.

3. Монотонность: если и , то при условии, что оба несобственных интеграла сходятся.

1. Замена переменной интегрирования: Пусть выполнены условия, при которых справедлива формула замены переменной в определенном интеграле и пусть сохраняет знак. Если сходится один из интегралов , , где , то второй из них также сходится, и их значения совпадают.
2. Интегрирование по частям: Пусть и пусть существует . Тогда , если сходится один из этих двух интегралов.

В дальнейшем мы будем считать, что − единственная особенность функции на
отрезке .

Предложение. Пусть . Для сходимости интеграла необходимо и достаточно ограниченности частичных интегралов (т. е. ограниченности функции на промежутке).

Теорема 1. (Признак сравнения). Пусть . Если сходится интеграл , то сходится и интеграл .

Доказательство. Теорема является следствием предыдущего утверждения.

Теорема 2. (Предельная форма признака сравнения). Пусть и . Если , где , то интегралы и ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся или оба расходятся.

Доказательство. Из условия следует существование положительных чисел , таких что и . Остаётся применить теорему 1.

Дата добавления: 2013-12-13