КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные определения. Свойства сходящихся рядов
Глава 8. Ряды. 1˚. Теория бесконечных числовых рядов имеет много общего с теорией несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом. Определение 1. Рассмотрим бесконечный ряд . Его частичнойсуммой называется сумма первых членов данного ряда, то есть . Ряд называется остаточным рядом. Определение 2. Если существует конечный предел частичной суммы , то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд считается сходящимся. В противном случае говорят, что ряд расходится. Сумма остаточного ряда называется остатком ряда. Предложение 1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остаточных рядов. При этом . Доказательство. Так как , то нужно лишь перейти к пределу при условии, что . Предложение 2. (Критерий Коши для рядов). Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его усечённый остаток стремился к нулю, когда (условие Коши). Доказательство. Так как, , то остаётся применить критерий существования конечного предела к последовательности . Предложение 3. (Необходимое условие сходимости). Если ряд сходится, то . Обратное утверждение не верно. Доказательство. Необходимость условия является следствием критерия Коши. Для того, чтобы убедиться в его недостаточности, рассмотрим гармонический ряд: .
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 292; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |