В.1. Предел числовой последовательности

Тема 2. Пределы и непрерывность

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность { a_n }:

a₁, a₂,…,a_n….

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента a_n=f(n).

Числа a₁, a₂,…,a_n называются членами последовательности, а число a_n – общим или n -м членом данной последовательности.

Пример 1: а) 2, 4, 6, …2 n, … (монотонная неограниченная);

б) 1, 0, 1, 0, … (немонотонная ограниченная);

в) 0, , , , , …, , … - немонотонная, ограниченная. Изобразим её точками числовой оси. С ростом n последовательность как угодно близко приближается к 1. При этом , , , …, , … Т.е. с ростом n расстояние будет меньше любого, сколь угодно малого числа.

Число А называется пределом числовой последовательности { a_n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e > 0 найдется такой номер N(e), зависящий от e, что для всех членов данной последовательности с номерами n > N(e) верно неравенство | a_n - A | < e.

Предел числовой последовательности обозначается или . Используя следующие логические символы (кванторы): " (любой), $ (существует), Û (равносильность или эквивалентность), определение предела можно записать в виде:

(A = a_n)Û ("e > 0 $ N(e): " n > N(e) | a_n – A | < e)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения: для достаточно больших n члены последовательности { a_n } сколь угодно мало отличаются от числа А.

Дата добавления: 2013-12-13