Определение дифференциала

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Î Х. Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин (БМВ) с пределами функций можно записать , где –БМВ при Dx ®0.

Откуда .

Т.о. приращение функции Dy состоит из 2 слагаемых: 1) линейного относительно Dx; 2) нелинейного (которое является БМВ более высокого порядка малости, чем Dx)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dx часть приращения функции, равная произведению производной данной функции на приращение независимой переменной

(1)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = Dx

(т.к. для функции у=х дифференциал будет равен: ).

Поэтому формулу (1) можно записать в виде (2)

=> (т.е. производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной).

Пример 9. Найти дифференциал функции у = 6 х ² – 3.

Решение. Вычислим производную данной функции у¢ = 12 х и подставим в формулу (2): .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение Dx.

На рисунке dy = KN, Dy = M₁N.

dy < Dy dy > Dy

Свойства дифференциала (1-5 аналогичны свойствам производной):

1. dС = 0.

2. d(Сu) = Сdu.

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = vdu + udv.

5. .

6. Свойство инвариантности (т.е. неизменности) формы (формулы) дифференциала. Рассмотрим сложную функцию .

Тогда ,

т.е. формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и.

8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Из изложенного выше следует, что . Поэтому при достаточно малых значениях Dx Dу» dy или . Откуда

(3)

Пример 10. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции, tg 46⁰.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой (3).

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) =(tgx) ’ = . Тогда . Учитывая, что tg 46⁰ = tg (45⁰ + 1⁰) = tg, возьмем х = и Δ х = .

Тогда tg 46⁰ = tg .

Пример 11. Вычислить приближенно ,

Решение. Приближенная формула для вычисления корней n -й степени:

, поэтому

Возьмем x =16; Dx =0,64;

Дата добавления: 2013-12-13