Криволинейные интегралы первого рода

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТНГРАЛЫ

Лекция 13

Дополнительная

1. Зайцев И.А, Высшая математика, М, Высшая школа, 1991, 400с,

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П, Краткий курс высшей математики. М., Наука, 1984. 624с.

Рассмотрим в пространстве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция .

Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.

Сложив все полученные произведения, получим интегральную сумму функции f(x, y, z).

Определение. Криволинейным интегралом первого рода по длине дуги АВ называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю шага разбиения кривой:

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4) Если кривая АВ разбита на дуги АС и СВ, то

5) Если в точках кривой АВ

то

6) Справедливо неравенство:

7) Если f(x, y, z) = 1, то

S – длина дуги кривой, l - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

8) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x₁, y₁, z₁) такая, что

Дата добавления: 2013-12-13