КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Циркуляция и ротор векторного поля
Рассмотрим векторное поле Возьмем в этом поле некоторую кривую L. - вектор, имеющий направление касательной к линии L. Тогда (1) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии L. Если - произвольное векторное поле, а L – замкнутый контур, то интеграл (1) носит специальное название – циркуляция вектора. Определение. Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора на вектор касательной к контуру. Установим физический смысл циркуляции вектора в случае, когда - поле скоростей текучей жидкости. Пусть контур L – окружность, расположенная в некоторой плоскости. Предположим, окружность является периферией колесика с радикальными лопатками, могущего вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Если циркуляция = 0, то колесико будет оставаться неподвижным: силы, действующие на лопатки, уравновешивают друг друга. Если циркуляция 0, то колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше величина циркуляции. В случае произвольного векторного поля отношение циркуляции по плоскому контуру L к площади S, ограниченной этим контуром будет величиной переменной. Вычислим
По формуле Стокса
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы нормали , а σ – область, ограниченная контуром L. Последний интеграл по теореме о среднем равен произведению подинтегральной функции в некоторой т. Р1 обл. σ на величину S площади этой области. Тогда ,
где значения всех частных производных берутся в т. Р. Правая часть представляет скалярное произведение 2х векторов:
единичного вектора - нормали к плоскости, в которой лежит контур L, и вектора, проекции которого равны , , . Последний вектор называют ротором или вихрем векторного поля и обозначают
Тогда формула Стокса принимает вид Поток ротора поля через поверхность σ равен циркуляции вектора по границе этой поверхности. Свойства ротора: 1) , где С1, С2 – постоянные 2) где u = u(P) – скалярная функция - векторная функция Доказать самостоятельно.
Пример. Найти ротор поля P = x2yz3 Q = -2x2yz3 R = 3x2yz3
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 1223; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |