Вычисление обратной матрицы

Пример 6.

прибавим к 1-ой строке все остальные строки

Пусть A = (a_ij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю. Тогда существует обратная матрица A ^–1, которая вычисляется по формуле

.

Последняя формула означает, что в i -й строке и j -м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j -й строке и в i -м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

Напомним здесь, что A_pq = (–1) ^{p + q} M_pq, где M_pq называется минором и представляет собой определитель, получающийся из определителя det A вычеркиванием p -й строки и q -го столбца.

Если определитель матрицы равен нулю, матрица называется вырожденной.

Пример 1. Построить матрицу, обратную к заданной матрице

.

Вычислим детерминант матрицы: detA = 20 + 6 – 24 = 2.

Построим матрицу , каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы А:

.

Транспонируем полученную матрицу: .

Выпишем обратную матрицу: .

Пример 2. Проверьте равенства AA ^–1 = A ^–1 A = E в предыдущем примере.

.

Дата добавления: 2013-12-13