Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть функция f (t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число ,

определив тем самым на промежутке функцию I (x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента D x:

D I (x) = I (x + D x) – I (x) =

.

Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения D I (x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах D x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x)D x. Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина D x.

Из сказанного следует формула для производной функции I (x):

.

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f (x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (1)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x) = F (x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

I (x) – I (a) = F (x) + C – (F (a) + C) = F (x) – F (a). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t) по промежутку [ a; b ]:

,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F (x) — любая первообразная функции f (x).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x) по промежутку [ a; b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x) функции f (x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , т.е. .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 1. .

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной:

.

Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j (a) = a; j (b) = b, а функции f, j, j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример 2. .

Сделаем замену: ln x = t или x = e^t, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим:

.

Таким образом, при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменных нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования. Достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования.

Дата добавления: 2013-12-13