Определение

Линейное пространство, базис, размерность

Лекция 7. Элементы матричного анализа

Определение. Множество элементов x₁, y₁, z₁ … любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие три требования:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и y множества ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый

2. Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества и любому действительному числу l ставится в соответствие элемент и этого множества, называемый

3. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:

Замечание. При введении понятия линейного пространства абстрагируются не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Примеры линейных пространств:

где - произвольные числа .

Определение. Элементы называются линейно зависимыми,

линейно независимыми называются

Свойства линейной зависимости и независимости:

Определение. Линейное пространство называется n-мерным,

n – называется

Обозначается dim R.

Определение. Система векторов в пространстве называется базисом, если:

(1)

Равенство (1) называется разложением вектора e по базису . Числа называются координатами вектора e в базисе .

Рассмотрим новый базис x₁, x₂ …. x_n. Каждый из векторов нового базиса может быть представлен линейной комбинацией векторов старого базиса:

Или в сокращенной записи

Линейная независимость векторов x₁, x₂ …. x_n равносильна линейной независимости строк матрицы

Дата добавления: 2013-12-13