Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

Лекция №15

1. Эллипсоид

(1)

Поскольку x,y,z во второй степени, то координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат – центром симметрии.

Выясним форму эллипсоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Эти плоскости будут иметь уравнение Z=h, где h- константа.

Линию пересечения плоскости Z=h с эллипсоидом обозначим L _h. Подставим Z=h в (1), получим:

=1

Обозначим

≤c, тогда =1 - уравнение проекции - эллипс.

В уравнении (1) a, b, c – отрезки, которые отсекает эллипсоид по соответствующим координатным осям.

Если a=b=c=R, то получаем сферу с центром в начале координат и с радиусом R.

2. Гиперболоид.

2.1. Однополостный гиперболоид

(2)

Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Эти плоскости будут иметь уравнение Z=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Z=h с гиперболоидом обозначим L _h. Подставим Z=h в (2), получим:

Введем обозначения: , . Тогда получим уравнение: =1

2.2. Двуполостный гиперболоид.

(3)

А) Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Эти плоскости будут иметь уравнение Z=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Z=h с гиперболоидом обозначим L _h. Тогда . Обозначение:

_,.

Тогда

И

Б) Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Ozy. Эти плоскости будут иметь уравнение Х=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Х=h с гиперболоидом обозначим L' _h:

. Правая часть всегда отрицательная при любом h. Поэтому получим после преобразования: - уравнение гиперболы.

B) Выясним форму гиперболоида, пересекая его плоскостями, параллельными координатной плоскости Ozx. Эти плоскости будут иметь уравнение Y=h, где h- константа. Линию пересечения плоскости Y=h с гиперболоидом обозначим L’’ _h: . Правая часть всегда отрицательная. Поэтому получим после преобразования: - уравнение гиперболы при любом h.

Самостоятельно исследовать все остальные поверхности из приведенной ранее таблицы.

Дата добавления: 2013-12-13