Сложение гармонических колебаний одного направления

Сложение гармонических колебаний

Рассмотрим несколько частных случаев

а) А ₁¹ А ₂, w ₁ = w ₂, j ₀₁ ¹ j ₀₂.

Точка одновременно участвует в двух колебаниях

х ₁ = А ₁cos j ₁ = А ₁cos(j ₀₁ + w ₁ t),

х ₂ = А ₂cos j ₂ = А ₂cos(j ₀₂ + w ₂ t).

Тогда результирующее смещение точки равно алгебраической сумме обоих смещений

х = х ₁ + х ₂ = А ₁cos j ₁ + А ₂cos j ₂ = А ₁cos(j ₀₁ + w ₁ t) + А ₂cos(j ₀₂ + w ₂ t).

Для анализа движения построим векторную диаграмму.

Так как w ₁ = w ₂, то угол между векторами А ₁и А ₂не меняется

y = j ₁ – j ₂ = j ₀₁ + ω ₁ t – j ₀₂ – ω ₂ t =

= j ₀₁ + j ₀₂.

Амплитуду колебания А может быть найдена по теореме косинусов

А ² = А ₁²+ А ₂² + 2 А ₁ А ₂ cos(j ₁ – j ₂) = А ₁²+ А ₂² + 2 А ₁ А ₂ cos(j ₀₁ – j ₀₂) =

= А ₁²+ А ₂² + 2 А ₁ А ₂cos y

Начальная фаза результирующего колебания может быть найдена из соотношения

tg j ₀ = ,

циклическая частота w = w ₁ = w ₂.

б) А ₁¹ А ₂, ω ₁ = ω ₂, j ₀₁ = j ₀₂.

Точка одновременно участвует в двух колебаниях

х ₁ = А ₁ cos j ₁ = А ₁ cos(j ₀₁ + w ₁ t),

х ₂ = А ₂ cos j ₂ = А ₂ cos(j ₀₂ + w ₂ t).

Тогда результирующее смещение точки равно алгебраической сумме обоих смещений

х = х ₁ + х ₂ = А ₁cos j ₁ + А ₂cos j ₂ =(А ₁+ А ₂)cos(j ₀ + wt).

Очевидно, что амплитуду результирующего колебания А = А ₁+ А ₂, циклическая частота w = w ₁ = w ₂, а начальная фаза j ₀ = j ₀₁ = j ₀₂

в) А ₁= А ₂, w ₁ = w ₂, j ₀₁ ¹ j ₀₂.

Точка одновременно участвует в двух колебаниях

х ₁ = А ₁cos j ₁ = А ₁cos(j ₀₁ + w ₁ t),

х ₂ = А ₂cos j ₂ = А ₂cos(j ₀₂ + w ₂ t).

Тогда результирующее смещение точки равно алгебраической сумме обоих смещений

х = х ₁ + х ₂ = А ₁cos j ₁ + А ₂cos j ₂ = А ₁cos(j ₀₁ + w ₁ t) + А ₂cos(j ₀₂ + w ₂ t) =

= А ₁[cos(j ₀₁ + w ₁ t) +cos(j ₀₂ + w ₂ t)] =

= 2 А ₁[cos+cos] =

= 2 А ₁[coscos()].

Очевидно, что результирующее колебание имеет:

амплитуду А = 2 А ₁cos,

начальную фазу j ₀ = ,

циклическую частоту w = w ₁ = w ₂,

в) А ₁= А ₂, w ₁» w ₂ (w ₁ – w ₂ << w ₁, w ₂), j ₀₁ = 0, j ₀₂ = 0

Точка одновременно участвует в двух колебаниях

х ₁ = А ₁cos j ₁ = А ₁cos w ₁ t,

х ₂ = А ₂cos j ₂ = А ₂cos w ₂ t.

Тогда результирующее смещение точки равно алгебраической сумме обоих смещений

х = х ₁ + х ₂ = А ₁cos j ₁ + А ₂cos j ₂ = А ₁cos w ₁ t + А ₂cos w ₂ t =

= А ₁(cos w ₁ t +cos w ₂ t) = 2 А ₁ cos t cos t.

Очевидно, что амплитуду результирующего колебания

А = 2 А ₁cos t

зависит от времени и изменяется с “биениями”, начальная фаза j ₀ = 0, а циклическая частота

w = .

Дата добавления: 2013-12-13