Плоскости, касательные к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту же поверхность.

Пусть задана некоторая поверхность W (рис. 185).

K

t

W

l

L

a

Рис. 185

Выберем на ней произвольную точку К и через нее проведем секущую прямую (а), которая пересечет заданную поверхность еще в некоторой точке L. Теперь точку L будем неограниченно приближать к точке К. При этом точка L будет перемещаться по некоторой кривой l, принадлежащей заданной поверхности. В пределе, когда точка L совпадет с точкой К, секущая (а) займет положение касательной t к кривой линии l и, следовательно, к поверхности Q в точке К. Таким образом, касательная к поверхности представляет собой предельное положение секущей, когда две точки проницания совпадут.

Из изложенного следует, что для построения касательной к поверхности в некоторой ее точке необходимо через эту точку провести принадлежащую поверхности кривую и построить касательную к этой кривой. Но через каждую точку поверхности можно провести множество кривых. Следовательно, через нее можно провести и множество касательных. В некоторых случаях все эти касательные принадлежат одной и той же плоскости, которую принято называть касательной плоскостью, в других случаях касательные принадлежат различным плоскостям (например, в точках ребра возврата поверхности торса вершин конических поверхностей, осей поверхностей вращения, где меридиан и ось пересекаются не под прямым углом и др.). В зависимости от этого, точки поверхности делятся на две группы: обыкновенные и особенные. В свою очередь, обыкновенные точки, в зависимости от характера заданной поверхности, делят на три типа: эллиптические, параболические и гиперболические.

К эллиптическим относят такие точки, когда касательная плоскость имеет с поверхностью одну общую точку и все линии поверхности, проходящие через эту точку, будут находиться по одну сторону касательной плоскости. Поверхности, у которых все точки эллиптические, являются выпуклыми поверхностями, например, сфера, эллипсоид вращения, параболоид вращения и т.д.

Параболические точки составляют линию, по которой плоскость касается поверхности. Чаще всех такой линией является образующая поверхности. К поверхностям, содержащим параболические точки, относятся, например, линейчатые поверхности с одной направляющей (торсовые, цилиндрические и конические).

К гиперболическим относятся такие точки, в которых касательная плоскость пересекает поверхность. К поверхностям, содержащим гиперболические точки, можно отнести, например, кольцо, однополостный гиперболоид, глобоид и др.

Следует заметить, что некоторые поверхности могут содержать различные точки. Например, на поверхности тора (кольца) есть эллиптические и гиперболические точки.

Поскольку для задания плоскости достаточно задать две пересекающиеся прямые, то для задания касательной плоскости некоторой точке поверхности достаточно провести через эту точку две касательные прямые (рис. 186).

Дата добавления: 2013-12-13