Теорема о повторении опытов

Теорема о полных вероятностях

Теорема:

Если интересующее нас событие А может появиться совместно с одним из событий (гипотез) B₁, B₂, …, B_n, образующих полную группу (единственно возможные и несовместные) и если для нас безразлично с каким из этих событий оно появится, то вероятность события А, равна сумме произведений вероятностей гипотез на вероятности появления события А, вычисленных в предположении, что соответствующая гипотеза имеет место:

В случае, если гипотезы равновозможны, то

и

Доказательство:

Действительно,

Иногда возникает задача уточнения вероятностей гипотез Bi по результатам испытания, в котором событие А появилось!, т.е. нас интересует P_A(B₁), P_A(B₂), …, P_A(B_n).

- Формула Байеса

Теорема:

Если в каждом опыте может появиться или не появиться событие А и если произведено n независимых опытов в неизменных условиях, то вероятность что событие А появится ровно m-раз равна:

- Формула Бернулли

, где

p – вероятность появления события А в опыте

q = 1 – p – вероятность непоявления события А в опыте

Частные случаи:

· Вероятность, что событие А появиться во всех опытах: P_n = pⁿ

· Вероятность, что событие А не появиться ни в одном из опытов: P₀ = qⁿ

Пример:

Стрельба по мишени. Производится n = 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле p = 0.8:

q = 0.2

- вероятность не попасть ни разу

- вероятность попасть 1 раз

- вероятность попасть 2 раза

- вероятность попасть 3 раза

- вероятность попасть 4 раза

- вероятность попасть 5 раз

При достаточно большом n пользоваться формулой Бернулли сложно, пожтому выполняют приближенное вычисление на основе теорему Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появиться ровно k раз в n испытаниях приближенно равна (тем точнее чем больше n) значению функции:

Дата добавления: 2013-12-14