Решение задачи с помощью построенной модели

Построение математической модели

Для построения математической модели важно:

1) Иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы.

2) Установить, значениями каких характеристик (переменных) исследуемой системы можно варьировать, т.е. выявить множество так называемых управляемых переменных.

3) Располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных.

Заметим, что полученное с помощью некоторой модели конкретное оптимальное решение является наилучшим только в рамках использования именно этой модели, т.е. только тогда, когда выбранный критерий оптимизации полностью адекватен цели. В практических ситуациях этого достичь не просто.

В основе построения моделей лежит допущение о том, что все переменные, ограничения, функция цели количественно измеримы. Поэтому если Xj, j=1,...,n, представляют собой n управляемых переменных и условия функционирования исследуемой системы характеризуются m ограничениями, то математическая модель может быть записана в следующем виде:

Z = f (X1, X2,..., Xn) opt {max (min)} (1)

gi (X1, X2,..., Xn) £ (=) bi, i = 1,..., m (2)

X1, X2,..., Xn ³ 0. (3)

Соотношение (1) называется целевой функцией, а соотношения (2-3) – ограничениями модели. Ограничения (3) называются условиями неотрицательности. В большинстве случаев такое требование вполне естественно. Термин “оптимизация” обычно используется для обозначения процессов максимизации либо минимизации.

Теория и методы решения задач типа (1-3) носят название – математическое программирование. Традиционно в математическом программировании выделяют линейное программирование (целевая функция и ограничения являются линейными функциями). Это наиболее разработанный раздел математического программирования.

После построения математической модели осуществляется решение сформулированной задачи, которое получают апробированными оптимизационными методами. Большинство алгоритмов, разработанных к настоящему времени, не позволяет получить решение задачи в аналитической форме. Как правило, оно находится путем осуществления ряда повторяющихся вычислительных процедур - итераций. Основная особенность итерационного процесса состоит в том, что на каждом шаге существует перспектива получения решения, более близкого к оптимуму, чем текущее решение. Кроме того, размерность большинства реальных задач, решаемых с помощью математических моделей, настолько велика, что бессмысленно пытаться получить их решение, осуществляя вычисления вручную. Все это обусловливает необходимость применения ЭВМ.

Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий круг самых разнообразных вопросов, возникающих при принятии оптимальных решений.

На этапе постановки задачи часто производится анализ с целью ответа на вопросы: ”что будет, если..?” и/или “что надо, чтобы..?”. Кроме анализа, выполняемого на этапе постановки задачи, мощным средством, помогающим принять решение, является анализ полученного оптимального решения. Эту часть исследования обычно называют анализом модели на чувствительность. Он необходим, например, в тех случаях, когда некоторые характеристики исследуемой системы не поддаются точной оценке. В такой ситуации весьма важно исследовать возможные изменения оптимума в зависимости от небольших изменений соответствующих параметров системы.

Дата добавления: 2013-12-14