ЛЕКЦИЯ №1

Воронеж 2010

МЕХАНИКА

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Основные определения.

Механическим движением называется изменение положения данного тела (или его частей) относительно других тел.

В ньютоновской механике рассматриваются механические движения тел, происходящие со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме.

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются механические движения тел во времени и не рассматриваются какие-либо воздействия на эти тела других тел или полей.

Для описания механического движения необходима система отсчета:

· Тело отсчета - тело, относительно которого рассматривается движение. Например, пассажир, сидящий в кресле самолета, и корпус самолета движутся относительно Земли, но неподвижны друг относительно друга.

·Система координат, связанная с телом отсчета. Простейшей системой координат является прямоугольная декартава система хуz.

·Часы, позволяющие отсчитывать интервалы времени от начала отсчета.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело - тело, форма и размеры которого при наличии всевозможных внешних воздействий могут считаться неизменными. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему жестко связанных материальных точек, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга.'

Положение материальной точки А в декартовой системе координат определяется тремя координатами х_А, у_А, z_А (рис.1.1). Также положение точки может быть задано радиус-вектором r, проведенным из начала отсчета координат О в точку А (рис.1.1).

Уравнение движения точки - уравнение зависимости радиус-вектора движущейся точки от времени:

(1.1)

или эквивалентная ему система уравнений

(1.2)

Уравнение траектории – уравнение зависимости координаты x от y:

(1.3)

Траектория – линия, которую описывает в пространстве конец радиус-вектора r при движении материальной точки А.

Путь S - скалярная физическая величина, равная длине участка траектории, пройденного движущейся точкой за данный промежуток времени. Пути, пройденные точкой за последовательные промежутки времени, складываются арифметически.

Перемещение – вектор, соединяющий начальное и конечное положения точки, движущейся в течение промежутка времени Δt=t₂-t₁ (рис. 1.2):

(1.4)

По форме траектории механическое движение делится на прямолинейное и криволинейное. В первом случае траекторией движения в данной системе отсчета является прямая линия, во втором — некоторая кривая. Если все точки траектории лежат в одной плоскости, движение называется плоским.

Простейшими видами механического движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения.

Поступательное движение — движение тела называется при котором любая прямая, соединяющая две произвольные точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Поступательное движение абсолютно твердого тела может быть охарактеризовано движением какой-либо одной его точки, например движением центра масс.

При вращательном движении абсолютно твердого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.

Скорость – векторная физическая величина, равная пределу, к которому стремится отношение вектора перемещения к промежутку времени Δt, в течение которого это перемещение происходит:

(1.5)

Вектор скорости направлен по касательной к траектории (рис.1.3). Направление скорости называют направлением движения точки.

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная пределу отношению изменения скорости к промежутку времени Δt, в течение которого это перемещение происходит:

(1.6)

В случае прямолинейного движения вектор ускорения направлен вдоль прямой, по которой направлен вектор скорости. В случае криволинейного движения вектор скорости изменяется как по модулю, так и по направлению. Составляющая а_τ вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке, называется тангенциальным ускорением. Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю.

Составляющая а_n вектора ускорения, направленная по нормали к траектории в данной точке, называется нормальным (центростремительным) ускорением. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению при криволинейном движении.

Из рис. 1.4 видно, что величины а, а_τ и а_п связаны между собой соотношением

(1.7)

Равномерное прямолинейное движение

Движение материальной точки называется равномерным, если тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При равномерном прямолинейном движении скорость тела постоянна, а ускорение равно нулю. Уравнение (закон) движения (1.1) в проекции на ось OX имеет вид:

(1.8)

Здесь x₀ – координата тела в начальный момент времени, x – координата тела в момент времени t, υ_x – проекция вектора скорости тела на ось OX.

Графиком такой зависимости в координатах x(t) является прямая линия (рис.1.5а), тангенс угла наклона которой равен проекции скорости υ_x. В координатах υ(t) график движения представляет собой прямую линию, параллельную оси времени (рис.1.5б). Площадь S под этой прямой равна пройденному пути за некоторый промежуток времени.

Равнопеременное прямолинейное движение

Движение материальной точки называется равнопеременным, если скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. ускорение постоянно. При равнопеременном прямолинейном движении векторы скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой.

Если направление ускорения совпадает с направлением скорости точки, движение называется равноускоренным. Модуль скорости равноускоренного движения точки с течением времени возрастает. Уравнение движения в проекции на ось OX имеет вид:

(1.9)

Здесь x₀ – координата тела в начальный момент времени, x – координата тела в момент времени t, υ_0x – проекция вектора начальной скорости тела на ось OX, a – проекция вектора ускорения тела на ось OX. Для прямолинейного движения разность между конечной (x) и начальной (x₀) координатами тела равна пройденному пути S.

Проекция скорости тела υ_x зависит от времени по закону:

(1.10)

Если направления векторов ускорения и скорости противоположны, движение называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамедленном движении с течением времени уменьшается.

Уравнение движения в проекции на ось OX имеет вид:

(1.11)

Проекция скорости тела υ_x изменяется со временем по закону:

(1.12)

Аналогично записываются уравнения движения и уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.

График зависимости υ(t) представляет собой прямую линию (рис.1.6), тангенс угла наклона которой равен проекции ускорения a_x. Графиком зависимости x(t) является парабола. По коэффициентам в уравнении прямой и параболы можно судить о расположении графика функции относительно координатных осей. На рис.1.6б приведены графики для тела, скорость которого уменьшается до некоторого момента времени τ, т.е., для тела, движущегося с отрицательным ускорением (a<0). В точке, где тело останавливается (υ_x=0) координата достигает максимального значения – ветви параболы направлены вниз. Далее тело начинает двигаться против оси OX. График пройденного пути S совпадает с графиком x(t) только до момента времени τ. В дальнейшем путь увеличивается, хотя тело движется в противоположном направлении.

Равномерное криволинейное движение в плоскости.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Если телу сообщить начальную скорость υ₀ под углом α к горизонту, то его движение будет криволинейным, поскольку его траекторией в данном случае будет парабола.

Такое движение можно представить двумя простыми движениями: равномерным по горизонтали (силой сопротивления воздуха можно пренебречь) и равноускоренным по вертикали (на тело действует сила тяжести). Движение тела вдоль оси OX описывается следующими законами:

(1.13)

(1.14)

Здесь x₀ и x – координаты тела в начальный момент времени и в момент времени t, соответственно; υ_0X – проекция начальной скорости тела на ось OX; υ_x –проекция скорости тела на ось OX через время t.

Вдоль оси OY тело движется с ускорением свободного падения g. Движение описывается следующими уравнениями:

(1.15)

(1.16)

Здесь y₀ и y – координаты тела в начальный момент времени и в момент времени t, соответственно; υ_0Y – проекция вектора начальной скорости тела на ось OY; υ_Y –проекция скорости тела на ось OY через время t.

Из рис. 1.7 следует, что:

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Равномерное движение точки по окружности

Движение по окружности является простейшим примером криволинейного движения. Равномерное движение точки по окружности происходит с постоянной по модулю скоростью (υ=const, a_τ=0). Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется, поэтому равномерное движение точки по окружности является движением с ускорением. Для описания равномерного движения точки по окружности вводятся следующие физические величины:

1. Период обращения (период вращения) T – время, в течение которого точка совершает один полный оборот по окружности.

2. Частота обращения (частота вращения) ν – число оборотов, совершаемых точкой за одну секунду. Период и частота вращения связаны как:

(1.20)

3. Угловая скорость ω – физическая величина, равная отношению угла поворота Δφ=φ₂-φ₁ радиус-вектора точки за промежуток времени Δt к длительности этого промежутка:

(1.21)

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью соотношением:

с линейной частотой ν:

с периодом колебаний Т:

4. Центростремительное ускорение a, модуль которого пропорционален квадрату линейной скорости и обратно пропорционален радиусу окружности R, по которой оно движется:

(1.22)

Или

(1.23)

Центростремительное ускорение в каждой точке окружности направлено к центру окружности.

Уравнение движения материальной точки (или центра масс абсолютно твердого тела), движущейся равноускоренно по окружности радиуса R:

(1.24)

Закон изменения скорости при равноускоренном движении:

. (1.25)

Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω₀ и ω – угловые скорости тела в начальный момент времени и в момент времени t, соответственно, ε – угловое ускорение.

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В динамике рассматривается влияние взаимодействий между телами на их механическое движение. Мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей называется сила – векторная физическая величина. Сила полностью определена, если заданы ее модуль, направление и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Силы взаимодействия между частями некоторой рассматриваемой системы тел называются внутренними силами. Силы воздействия на тела данной системы со стороны тел, не включенных в эту систему, называются внешними силами. Система тел, на каждое из которых не действуют внешние силы, называется замкнутой (изолированной) системой.

Если на материальную точку одновременно действует несколько сил то они могут быть заменены одной силой F_Σ, называемой равнодействующей силой и равной их сумме:

(1.26)

Законы Ньютона

Первый закон Ньютона: любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния. Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона называются инерциальными системами отсчета. Прямолинейное и равномерное движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета называется инерциальным движением, (движением по инерции). При инерциальном движении вектор скорости материальной точки не изменяется с течением времени ни по направлению, ни по модулю

Системы отсчета, в которых свободная материальная точка или свободное тело не сохраняют скорость движения неизменной, называются неинерциальными системами отсчета.

В механике Ньютона считается, что

а) масса тела не зависит от скорости его движения;

б) масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит;

в) для данной совокупности тел выполняется закон сохранения массы: при любых процессах, происходящих в системе тел, ее масса остается неизменной.

Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе точки и по направлению совпадает с силой:

(1.27)

В более общей форме второй закон Ньютона имеет вид:

(1.28)

Сила, действующая на материальную точку (тело), равна изменению импульса точки (тела) за единичный промежуток времени. Сила является мерой изменения импульса точки (тела) за единичный промежуток времени.

Импульсом материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на скорость ее движения:

(1.29)

Третий закон Ньютона: силы взаимодействия двух материальных точек в инерциальной системе отсчета равны по модулю и направлены в противоположные стороны:

(1.30)

где – сила, действующая на первую точку со стороны второй, а – сила, действующая на вторую точку со стороны первой. Знак минус в этом уравнении указывает на противоположную направленность векторов сил.

Динамика вращательного движения.

При изучении вращения твердых тел используется понятие момента инерции. Моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется скалярная величина J равная произведению массы т точки на квадрат ее расстояния R от оси:

(1.31)

Моментом инерции тела относительно оси называется величина J, равная сумме моментов инерции всех N точек тела:

(1.32)

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения тела. Но если масса данного тела в задачах ньютоновской механики считается величиной постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

, (1.33)

где ω – угловая скорость

В случае плоского движения тела, например, цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, кинетическая энергия равна:

(1.34)

Изменение вращательного движения абсолютно твердого тела в инерциальной системе отсчета происходит при воздействии на него моментов внешних сил. Моментом силы называется величина М, модуль которой равен:

(1.35)

r – модуль радиус-вектора, проведенного из точки О, через которую проходит ось вращения в точку приложения силы F; α – угол между радиус-вектором и вектором силы. Направление вектора момента силы совпадает с направлением поступательного движения правового винта при его вращении от к .

Суммарный момент нескольких сил, действующих на тело, равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

(1.36)

Основной закон динамики вращательного движения: в инерциальной системе отсчета угловое ускорение е, приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту М всех внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции J тела относительно данной оси:

(1.37)

Моментом импульса точки (моментом количества движения точки) относительно некоторой неподвижной оси называется величина L, равная произведению момента инерции J точки на угловую скорость ω ее движения вокруг этой оси:

(1.38)

Моментом импульса тела (моментом количества движения тела) относительно некоторой неподвижной оси называется величина L, равная сумме моментов импульсов всех N точек тела относительно этой оси:

(1.1)

При использовании момента импульса уравнение основного закона динамики вращательного движения принимает вид:

(1.39)

где ΔL — изменение момента импульса тела за промежуток времени Δt, а М — суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело в данной инерциальной системе отсчета.

Суммарный момент М_внутр всех внутренних сил взаимодействия частей тела относительно оси вращения всегда равен нулю. Моменты сил взаимодействия частей тела попарно компенсируются и не приводят к изменению момента импульса тела.

Работа силы и механическая энергия.

Работа A силы при движении материальной точки и поступательном движении абсолютно твердого тела определяется соотношением:

, (1.40)

где S – перемещение тела под действием силы F, α – угол между направлением силы и направлением перемещения.

В зависимости от взаимной ориентации векторов силы и перемещения работа может быть величиной положительной, отрицательной или равной нулю.

Силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения движущейся материальной точки или тела и не зависит от формы траектории, называются потенциальными. При замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю. Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются непотенциальными.

Система тел называется консервативной, если внутренние и внешние силы, действующие на тела некоторой системы, являются потенциальными, такая система называется консервативной.

Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Механическая энергия Е характеризует движение и взаимодействие тел и равна сумме кинетической Е_К и потенциальной Е_П энергий.

Кинетическая энергия материальной точки или тела является мерой их механического движения, зависящей от скоростей их движения в данной инерциальной системе отсчета:

(1.41)

Кинетическая энергия Е_К системы складывается из кинетических энергий Е_Кi всех п материальных точек, из которых состоит система.

Потенциальной энергией Е_П называется часть механической энергии, зависящая от относительного расположения взаимодействующих материальных точек, тел (или их частей) и относится ко всей совокупности (системе) взаимодействующих объектов:

(1.42)

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной системы сохраняется постоянной в процессе движения системы:

Этот закон справедлив как для замкнутых, так и для незамкнутых консервативных систем:

(1.43)

Если система замкнута, то выполняется еще один закон сохранения – закон сохранения импульса:

(1.44)

Постулаты специальной теории относительности

В основе специальной теория относительности (СТО), иначе называемой релятивистской теорией, лежат два постулата.

Первый постулат — принцип относительности: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, электромагнитные и др.) при одних и тех же условиях протекают одинаково. Никакие опыты, проведенные внутри данной системы отсчета не дают возможности обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.

Второй постулат — принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя.

Дата добавления: 2013-12-14