Приклади не лінійних просторів

Приклади лінійних просторів

Лінійні простори

Лекція 10

1. Приклади лінійних просторів.

2. Знаходження базисності та вимірності лінійних просторів.

3. Приклади лінійних просторів.

4. Поняття афінної множини.

5. Опуклі множини.

6. Евклідів простір.

1) Трьох вимірний лінійний евклідів простір з дійсними координатами, не строге поняття лінійного простору означає, що між елементами простору введена метрика – скалярний добуток.

2) Елементами простоту є множина додатніх чисел. Введемо в ньому операції суми та добутку, тобто вважаємо, що сума елементів дорівнює x·y і для сталої k виконується умова kx = x^k

Перевіримо 4 аксіоми:

a) Для будь-яких x, y є L => x+y є L +

Для будь-яких x, y > 0 => x+y = x·y є z > 0 є L

b) Для будь-якого k = const => kx = x^k є L +

c) Існує 0 є L; для будь-яких x є L; х+0 = х; x·1 = x > 0 є L +

d) Існує x; x+(-x) = 0 => -x = = x-1; x- = 1 +

Висновок. Множина додатніх чисел є лінійним простором.

3) L = Pn(x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ

Множина многочлена степеня не быльше n.

(Доведення аналогічно, за 4 аксіомами).

4) L = [a; b]

Множина функцій неперервна на [a; b].

Ṕ_n(x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ; a_n ≠ 0

Простір многочленів степеня n.

Наприклад. Нехай елементи а = Ṕ_n(x) є многочлен x²+1, n = 2; а елемент b = -x²+x-2, n = a

1. Розглянемо 1 аксіому:

a+b = x²+1+(-x²+x-2) = x-1

Ȓ₂(x) – не є простором.

2. Розглянемо многочлен додатніх чисел з операціями додавання та множення, якщо операції введені наступним чином:

x+y = y+y

k = const kx = kx

Не виконується друга аксіома тому, що для будь-якого k, що може бути і додатнім і від’ємним; kx ≤ 0.

3. Множина векторів не паралельних даній прямій (не виконується перша умова).

Означення. Лінійний простір називається дійсним якщо в ньому введено операції множення тільки на дійсні числа.

Комплексний – якщо множення на комплексні числа.

Розглядаємо тільки дійсний простір.

Визначити чи утворює множина матриць другого порядку лінійний простір. Якщо так, знайти вимірність цього простору.

Розглянемо множину M.

a b

1) M =, a, b, c, d є R

c d

Перевіряємо аксіоми лінійного простору з операцією суми.

x, y є М => x+y = y+x

a₁ b₁ a₂ b₂

x = y =

c₁ d₁ c₂ d₂

a₃ b₃

x+y = є M

c₃ d₃

2) k = const; x·k є M

a b ka kb a₄ b₄

k · = = є М

c d kc kd c₄ d₄

3) 0 0 0 0 a b a b

Існує 0 = / + = = x

0 0 0 0 c d c d

4) Існує –х / х+(-х) = 0

a b -a -b a b 0 0

-x = -1·x = -1 => + = =0

C d -c -d c d 0 0

Всі аксіоми справжні, отже множина М є лінійним простором.

Означення. Вимірністю скінченно вимірного лінійного простору L називається число n, якщо в цьому просторі існує n лінійно незалежних векторів. При цьому дані вектори утворюють базис простору, тобто необхідно розглянути комбінацію виду:

x = k₁l₁+k₂l₂+…+k_nl_n, k₁…k_n = const

Розкладемо елемент простору М у вигляді:

a b a 0 0 b 0 0 0 0

x = = + + + =

с d 0 0 0 0 с 0 0 d

1 0 0 1 0 0 0 0

= a + b + c + d

0 0 0 0 1 0 0 1

Отже числа a, b, c, d деякі сталі є R.

x = al₁+bl₂+cl₃+dl₄

Висновок. Встановили, що довільний елемент простору в розкладі по елементах e₁, e₂, e₃, e₄ є претендентами на базис.

Необхідно перевірити їх лінійну незалежність.

Для цього складено лінійних комбінацій, що дорівнює нулю при усіх a, b, c, d = 0

0 = al₁+bl₂+cl₃+dl₄

Але 0 – це нульова матриця другого порядку, або в розгорнутому вигляді

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

= a + b + c + d

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

Після виконання дій отримаємо:

0 0 a b

= => a = b = c = d = 0

0 0 c d

Висновок. e₁, e₂, e₃, e₄ – лінійно незалежні, тобто є базисом, а вимірність простору М = 4.

Приклади базисів деяких лінійних просторів.

1) R² = (a, b), a, b є R

На площині базис утворює довільні два не компланарні вектори l₁ і l ₂.

a = k₁l₁

= > c = k₁l₁+k₂l₂

b = k₂l₂

2) R³ = (a, b,c), a, b,c є R

dimR³ = 3

3) Rⁿ = (x₁…x_n), x_n є R)

dimRⁿ = _n

Дата добавления: 2013-12-14