Приклади лінійних просторів

1) M = 0 є L

2) M є L - збіг з самим простором.

3) Якщо лінійний простір є множиною квадратних матриць, то підпростір М – це множина діагональних матриць, або трикутних матриць.

Приклад. Нехай М₁ та М₂ лінійні підпростори простору L.

Сукупність елементів, що одночасно належать обом підпростором є їх перерізом, а сумою даних підпросторів є множина елементів які представляються сумою елементів, хоча б одного підпростору.

Приклад. Знайти суму та переріз двух підпросторів лінійного простору, якщо підпростір М₁ це множина векторів паралельних OYZ, а М₂ це множина векторів паралельних OXY.

М1 = (o, y, z) є R³

M2 = (x, o, z) є R³

Нехай деякий елемент а є М₁, а деякий елемент b є М₂.

a+b = (o, y, z,) + (x, o, z) = (x, y, zz) є L

M₁ Λ M₂ => a Λ b = (0; 0; z)

Отримали множину векторів паралельних вісі OZ.

Означення. Множина М називається прямою сумою, якщо будь-який елемент множини М єдиним чином представляються сумою елементів М₁ і М₂.

Приклад. Знайти пряму суму лінійних підпросторів, якщо підпростір М₁ – це вектори, що паралельні вісі ОУ, а М₂ паралельний площині ОХZ.

1) M₁ = (o, y, o), y є R

М₂ = (x, o, z), x, z є R

а є М; b є М

a+b = (o, y, o)+(x, o, z) = (x, y, z) => M₁ + M₂ = M є R³

2) Чи буде дана сума єдина, для цього розглянемо обернений вираз.

(x, y, z) = а = (o, y, o)+(x, o, z) = a + b є М = R³

Перетворення єдине.

3) Знайдемо вимірності простору М.

За умовою:

dimM₁ = 1

dimM₂ = 2

Отже dimM = dimM₁+ dimM₂ = 3.

4) Знайдемо вимірність перетину.

dim(M₁ Λ M₂) = 0

Означення афінної множини. Прямою в n-вимірному просторі, що проходить через точку x0 є Rⁿ, з напрямленим вектором а є Rⁿ називається множина виду М = x0+aλ; λ, x є R.

Рівняння множини, що проходить через дві точки називається множина виду:

M = x = αx₀+βx, α+β = 1, x є Rⁿ

α і β = const

Означення. Афінною множиною називається множина яка разом зі своїми двома точками містить і пряму, що з’єднує дані точки.

Наприклад. В трьох вимірному просторі площина XOY є афінною, тобто беремо деяку точку М₁ і М₂ і проводимо пряму.

Висновок. Двовимірний простір є афінна множина.

Афінною лінійною комбінацією для точок x₀, x₁,…x_n є Rⁿ називається вираз виду:

k₀x₀+k₁x₁+…+k_nx_n є R, k_i = const є R, k₀+…k_n = 1

Вимірність лінійної афінної множини назтвають вимірність лінійного підпростору.

Якщо вимірність її дорівнює n, то даний простір називають гіперплощиною.

Афінною оболонкою множини S називають сукупність усіх афінних точок даної підмножини і позначають affSM.

Нехай маємо відрізок [x₀, x₁], що з’єднує точки x₀ і x₁.

В гіперплощині дана множина має вид:

[x₀, x₁] = x-λx₀+(1-λ)x₁, λ є [0; 1].

Множина називається опуклою, якщо вона разом зі своїми двома довільними точками містить відрізок, що з’єднує їх.

Нехай множина М другого порядку, тоді елементи її мають вид:

x =αx₀+βx₁

x = αx₀+(1- α)x₁-(x₀-x₁)+x₁

Так як α є [0; 1] беремо α = 0, маємо x = x₁

α = -> x = (x₀-x₁)+x₁ =, маємо середину відрізка.

α = 1 -> x = x₀

Висновок. Опукла лінійно оболонка складається з точок x₀ та х₁ та множини точок між ними. Це відрізок [x₁, x₂].

Приклад. Побудувати область задану лінійними нерівностями. Визначита чи буде множина опуклою чи афінною. Знайти опуклу лінійну оболонка або афінну множину.

ОДЗ

y-x ≤ 1

x+y > 3

y ≥ 1

x-3y < 0

1) y-x = 1

2) x+y = 3

3) y = 1

4) x-3y = 0

y =

Множина М опукла, тому що задається системою лінійних рівнянь, вона не є афінною тому, що є нерівності строгі, тобто будь-яка лінія цілком не належить множині.

Множина М не є многогранною область тому, що вона задається системою із строгих і не строгих лінійних рівнянь, а лінійна оболонка співпадає з ОДЗ, тому, що множина опукла.

Дата добавления: 2013-12-14