Рівняння кривих другого порядку в довільній системі координат

Нехай рівняння має вид:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0

Зробимо перетворення:

1) Перенесемо початок координат в центр O1(x0;y0), де

B D D A

C E E B

x₀ =; y₀ =

A B A B

B C B C

Отримаємо (9):

Ax²+2Bxy+Cy²+F = 0

F = Dx₀+Ey₀+F

2) Спростимо рівняння (9) за допомогою перетворень:

X = x’cosα-y’sinα

Y = x’sinα-y’cosα

Повертає нову систему координат на кут α, якщо α вибраний з умови Btgα-(C-A)tgα-B = 0, то в нових координатах рівняння (9) набуває вид:

A’x’²+C’y’²+F = 0

Між коефіцієнтами рівняння (8) і (10) є співвідношення

A’C’ = AC-B²

A’+C’ = A+C

A B B C

Що дозволяє знайти коефіцієнти не проводячи перетворення.

Зауваження. Позначимо визначник += δ (дельта), тоді якщо:

δ > 0 - рівняння еліптичного типу;

δ < 0 - рівняння гіперболічного типу;

δ = 0 - рівняння параболічного типу.

Тобто кожне еліптичне рівняння є рівнянням або еліпса, або точки, або уявного еліпса. Гіперболічне рівняння визначає гіперболу або дві прямі, що перетинаються.

Приклад. Побудувати пряму:

X²+4xy+y²+2x+4y+1 = 0

A = 1

2B = 4; B = 2; F = 1; C = 1;

2D = 2; D = 1;

2E = 4; E = 2.

1) 2 1

1 2

x₀ = = - = -1

1 2

2 1

y₀ = = 0

O1(-1;0)

2) 2tg²α-(1-1)tgα-2 = 0

tg²α = 1

tgα = ±1

α =

A’C’ = 1-22 A’C’ = -3 Z₁ = 3

A’+C’ = 2 A’+C’ = 2 Z₂ = -1

Нехай A’ = 3; C’ = -1, тоді рівняння (10) набуває вид:

3x’²-y’²+(1·(-1)+2·0+1) = 0

3x’²-y’² = 0

x’

y

= 0

y’

Отримали дві прямі, що перетинаються:

45⁰

(

x

O₁

X’O₁T’

Дата добавления: 2013-12-14