Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої

Механічний зміст похідної

Геометричний зміст похідної

Означення похідної

Похідні вищих порядків

Основні правила диференціювання

Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої

Механічний зміст похідної

Геометричний зміст похідної

Означення похідної

План

Похідна функції

5. Залежність між неперервністю і диференційовністю функції

7. Похідні від основних елементарних функцій

Нехай функція визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення і надамо аргументу приросту. Тоді функція набуде приросту. Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при:

. (4.1)

Якщо границя (4.1) існує і скінченна, вона називається похідною функції за змінною х і позначається.

Означення. Похідною функції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Означення. Дотичною до кривої L у точці М називається граничне положення МN січної ММ ₁ при прямуванні точки М ₁ по кривій L до точки М (рис. 4.1).

Нехай крива, задана рівнянням, має дотичну в точці М (х, у). Позначимо (рис. 4.2) кутовий коефіцієнт дотичної МN:. Надамо в точці х приросту, тоді ордината у набуде приросту.

З випливає, що. Коли, то і січна прямує до положення дотичної МN. Таким чином,.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Оскільки, то тобто похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох (рис. 4.3).

  Рис. 4.3

Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у да-
ний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М ₀, а в момент часу точка опинилася на відстані від початкової точки й зайняла положення М ₁. Отже, час t набув приросту, а шлях х — приросту. Середня швидкість руху точки М за час описується формулою.

Якщо точка М рухається рівномірно, то V _cр є величина стала, і її беруть за швидкість точки. Для нерівномірного руху точки очевидно, що для достатньо близьких значень до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t беруть величину,

яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає механічний зміст похідної.

Нехай функція у = f (t) означена і неперервна на деякому проміжку [ a; b ]. Визначимо рівняння дотичної й нормалі до графіка функції у = f (x) у точці з абсцисою.

Оскільки дотична й нормаль проходять через точку з абсцисою х ₀, то рівняння кожної з них будемо шукати у вигляді рівняння прямої, що проходить через задану точку М ₀ (х ₀; у ₀) у даному напрямі (рис. 4.4):

, (4.2)

де k кутовий коефіцієнт дотичної. Використовуючи геометричний зміст похідної, маємо.

Рівняння дотичної. Оскільки, то з виразу (4.2) дістанемо рівняння дотичної у вигляді. (4.3)

Рівняння нормалі. Означення. Нормаллю до графіка функції в точці М ₀ називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис. 4.4).

Використовуючи умову перпендикулярності дотичної та нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі і записуємо її рівняння у вигляді. (4.4) Рис. 4.4

5. Залежність між неперервністю і диференційовністю функції

Функція у = f (x) є неперервною в точці х, якщо у цій точці.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною в точці, якщо у цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною на інтервалі (а; b), якщо вона диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює теорема.

Дата добавления: 2013-12-14