Теорема 7.Похідна оберненої функції по змінній у дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції

Теорема 6.Якщо у = f (u) та — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює.

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу.

Де.

.

Основні правила диференціювання

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці функція неперервна.

Обернене твердження неправильне: для неперервної функції може не існувати похідної.

  Рис. 4.5

Справді, нехай функція диференційовна в точці. Запишемо тотожність, звідси

Таким чином, функція неперервна в точці.

Наслідок. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не має похідної в цій точці.

Прикладом неперервної функції, що не має похідної в одній точці, є функція (рис. 4.5). Ця функція неперервна при х = 0, але не ди-
ференційовна для цього значення, оскільки в точці з абсцисою х = 0 не існує дотичної до графіка функції.

Таким чином, необхідною умовою диференційовності функції у = f (х) у точці х є її неперервність у цій точці.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то.

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій:.

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

Зауваження. Похідну від функції, де, зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію u (x):.

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де, тобто. Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно. З цього рівняння легко знайти, тобто похідну неявної функції.

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та.

Похідна параметрично заданої функції. Нехай функцію від задано параметричними рівняннями:.

Припустимо, що функції мають похідні і що функція має обернену функцію, яка також є диференційовною. Тоді визначену параметричними рівняннями функціо-
нальну залежність можна розглядати як складну функцію, (— проміжний аргумент). На підставі теорем 6 та 7 маємо:,.

Звідки або.Знайдена формула дає можливість знаходити похідну від параметрично заданої функції, не знаходячи явної залежності

Дата добавления: 2013-12-14