Арифметические основы вычислительной техники

Системой счисления (сс) называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой сс для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки). Называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной сс. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только разными. И значение каждого из них должно быть известно. Наиболее распространено представление в виде арабских цифр от 0 до 9. В римской сс базисными являются числа – 1 5 10 50 100 500 1000, которые обозначаются знаками I V X L C D M, а другие получаются путем сложения или вычитания базисных: если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются, если цифра слева меньше чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой: 146 CXLVI. Подобные сс называются аддитивными. При сложении или вычитании больших чисел, а так же при умножении и делении римская система счислений неудобна. В ней каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, то есть значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Поэтому эта система относится к непозиционным система счисления. Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. В десятичной сс каждый разряд имеет вес, равный степени числа 10, например 343.32 три раза содержит цифру 3, при этом самая левая тройка – кол-во сотен (вес 10²), три перед точкой – кол-во единиц (вес 10⁰), а самая правая тройка – кол-во десятых долей единицы (вес 10^-1). Поэтому данная последовательность может быть записана следующим образом: 3*10²*+4*10¹+3*10⁰+3*10^-1+2*10^-2 В общем виде это можно представить в виде полинома: Х=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+..+a₁*10¹+a₀*10⁰+_a-1+10^-1+..+a_-m*10^-m (1)

Число к единиц какого либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда называют основанием позиционной сс, а сама сс к-ичной. Для записи произвольного числа в к-ичной системе счисления достаточно иметь к различных цифр a_i, i=0,..,k-1. Запись произвольного числа Х в к-ичной позиционной сс основывается на представлении этого числа в виде полинома: Х=a_n*Kⁿ+a_n-1*K^n-1+..+a₁*K¹+a₀*K⁰+_a-1+K^-1+..+a_-m*K^-m (2), где каждый коэффициент a_i может быть одним из базисных чисел и обозначается

В современной вычислительной технике в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная сс – система с наименьшим возможным основанием. Для изображения числа используется либо ноль либо единица. Примере изображения числа в двоичной сс:

0,25(10)=0,01(2)

0,5(10)=0,1(2)

1(10)=1(2)

2=10

3=11

4=100

5=101

6=110

7=111

8=1000

9=1001

10=1010

Таблица сложения чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Таблица умножений чисел:

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Неудобство двоичной сс, связанное с громоздкостью записи чисел при ручной обработке информации, вынуждает использовать другие сс. В восьмиричной базисные числа {0,..,7}

83,5₍₁₀₎=64+16+3+4/8=1*8²+2*8¹+3*8⁰+4*8^-1=123,4₍₈₎

В шестнадцатеричной системе базисными являются числа от нуля до пятнадцати {0,..,9,A,B,C,D,E,F}

175,5₍₁₀₎=160+15+8/16=10*16¹+15*16⁰+8*16^-1=af.8₍₁₆₎

Иногда числа заданные в сс с основанием Р приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q меньше Р. Это происходит, когда ЭВМ, непосредственно воспринимающий только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа. В этом случае используются смешанные сс, в которых каждый коэффициент Р-ичного заложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе Р называется старшим основанием, Q младшим основанием а сама смешанная система называется Q-P-ичной. Например, смешанной двоично-десятичной сс для изображения каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда.

925₍₁₀₎=1001 0010 0010 _(2-10)

В общем случае изображение числа Х в Р-ичной сс, Р=Q^l является просто сокращенной записью изображения этого же числа Х в Q-ичной системе. Это свойство используется для сокращенной записи чисел заданный в сс с небольшим основанием. Для этого в исходной записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы некоторой длины и каждая такая группа записывается одной цифрой другой системы, основание которой равно соответствующей степени исходного основания. Например двоичное изображение числа 46,5(10)=101110.1(2) можно записать короче с использованием цифр других систем, причем эта сокращенная запись одновременно является и изображением данного числа в соответствующей сс.

101110.10=232.2(4)

101110.100=56.4(8) разложение по триадам

0010 1110.1000=2е.8(16) разложение по тетрадам

Перевод чисел из одной сс в другую происходит по формуле (2):

1. перевести число х=371(8) в десятичную.

Х=3*8²+7*8¹+1*8⁰=192+56+1=249(10)

2. Х=af.4(16)=10*16¹+15*16⁰+4*16^-1=160+15+0.25=175.25(10)

3. N=47(10) 101111(2) (там деление лесенкой(столбиком и остатки) а потом ответ с зада вперед)))

4. N=3060(10) – в (16) (опять делим столбиком…) = bf4

Дата добавления: 2013-12-14