Приклади лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів

Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду

Вектор називається пропорціональним вектору, якщо для деякого числа. В аналітичній геометрії такі вектори називалися колінеарними.

Лінійна залежність системи векторів

. (1)

де – деякі числа з поля (коефіцієнти лінійної комбінації). Якщо вектор записаний у вигляді (1), то кажуть, що він розкладений за системою векторів, або що він лінійно виражається через вектори.

Означення . Система векторів векторного простору називається лінійно залежною, якщо існують числа, які не всі водночас дорівнюють нулю (), такі що

(2)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо остання рівність виконується тільки в одному випадку, коли.

Теорема (про лінійну залежність векторів). Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.

1) У векторному просторі комплексних чисел вектори і утворюють лінійно незалежну систему.

2) В арифметичному числовому векторному просторі система одиничних векторів,,…, лінійно незалежна.

3) У векторному просторі геометричних векторів будь-які чотири вектори лінійно залежні, а будь-які три некомпланарні вектори лінійно незалежні.

Аналогічно, у векторному просторі будь-які три вектори лінійно залежні, а будь-які два неколінеарні вектори лінійно незалежні.

4) У векторному просторі всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами многочлени лінійно незалежні.

5) У векторному просторі всіх неперервних функцій дійсної змінної на числовій прямій система функцій,, 1 лінійно залежна, оскільки

.

(Як відомо, функція 1 є лінійною комбінацією функцій і:

).

Теорема (про лінійну залежність системи векторів). Якщо деяка підсистема заданої системи векторівлінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Наслідок 1. Скінченна система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно залежна.

Наслідок 2. Скінченна система векторів, яка містить пропорціональні вектори, лінійно залежна.

Наслідок 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, тобудь-яка її підсистема лінійно незалежна.

Означення. Кажуть, що система векторів лінійно виражається через систему векторів, якщо кожен вектор системи лінійно виражається через вектори.

Означення. Дві скінченні системи векторів називаються еквівалентними, якщо вони лінійно виражаються одна через одну.

Теорема (Основна теорема про лінійну залежність векторів). Нехай задані дві системи векторів і, причому перша лінійно незалежна і лінійно виражається через другу. Тоді число векторів в першій системі не перебільшує числа векторів в другій, тобто.

Наслідок. Будь-які дві еквівалентні лінійно незалежні системи векторів мають однакове число векторів.

Означення. Базисом системи векторів називається будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема. Число векторів в базисі називається рангом системи векторів.

Теорема (про ранги двох систем векторів). Нехай задані дві системи векторів, причому ранг першої дорівнює, а ранг другої дорівнює. Якщо перша система лінійно виражається через другу, то. Якщо дві системи еквівалентні, то.

Дата добавления: 2013-12-14