Пряма лінія на площині

Лінії на площині

Лекція 5

Означення. Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням деякої лінії в заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Рис. 2.14

Нехай задано деяку пряму (рис. 2.14), знайдемо її рівняння.

Точка М (х, у) лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова

.

Позначимо tg a = k і назвемо цю величину кутовим коефіцієнтом прямої лінії. Тоді, враховуючи, що NM = y – b,

BN = x, маємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b. (2.14)

Нехай деяка точка М ₁ (х ₁, у ₁) належить заданій прямій, тоді у ₁ = kx ₁ + b. Знайдемо з цього рівняння значення b і, підставивши його в рівняння прямої (2.14), дістанемо:

у – у ₁ = k (х – х ₁) (2.15)

— рівняння прямої, що проходить через задану точку М ₁ (х ₁, у ₁).

Нехай ще одна точка М ₂ (х ₂, у ₂) також належить заданій прямій, тоді з означення лінії маємо:

у ₂ – у ₁ = k (x ₂ – x ₁).

Знайдемо значення k з останнього співвідношення і, підставивши його в рівняння прямої (2.15), дістанемо:

. (2.16)

Останнє рівняння (2.16) називається рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого степеня відносно х і у.

Ах + Ву + С = 0, (2.17)

і навпаки, рівняння (2.17) при довільних А, В, С (А і В одночасно не дорівнюють нулю) визначає деяку пряму в прямокутній системі координат Оху.

Рівняння (2.17) називається загальним рівнянням прямої лінії. Дослідимо це рівняння.

1. С = 0, А ¹ 0, В ¹ 0, тоді Ах + Ву = 0 і останнє визначає пряму, що проходить через початок системи координат, бо точка О (0, 0) лежить на цій прямій.

2. В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ах + С = 0, або, де а — довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама вона розміщена паралельно осі Оу, якщо С = 0, то х = 0 маємо рівняння самої осі Оу.

3. А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ву + С = 0, або, де b — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох, при с = 0 маємо у = 0 — рівняння осі Ох.

2. Кут між двома прямими, відстань від точки до прямої

Розглянемо дві прямі l ₁: у = k ₁ x + b ₁ і l ₂: y = k ₂ x + b ₂.

Означення. Кутом між прямим l ₁ і l ₂ називається такий кут j, поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

  Рис. 2.15

Зауважимо, що кут між l ₁ і l ₂ не дорівнює куту між l ₂ і l ₁. Пригадуючи, що

tg a₁ = k ₁;

tg a₂ = k ₂, а також, що виконується очевидне співвідношення між кутами j = a₂ – a₁ (рис. 2.15), маємо:

.

Остаточно. (2.18)

Якщо кут j — це кут між l ₁ і l ₂, то кут між l ₂ і l ₁ дорівнюватиме p – j.

З формули (2.18) легко дістати умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Так, коли l ₁ // l ₂, кут j між ними дорівнює нулю — маємо:

tg j = 0 Þ k ₁ = k ₂.

Якщо l ₁ ^ l ₂,

.

Підставляючи значення кутових коефіцієнтів, маємо:

.

Нехай задано деяку точку М ₀ (х ₀, у ₀) і пряму l: Ах + Ву + С = 0.

Пересвідчимось, що М ₀ не лежить на прямій,

Ах ₀ + Ву ₀ + С ¹ 0, тоді відстань від точки М ₀ (х ₀, у ₀) до прямої Ах + Ву + С = 0 можна знайти за формулою:

.

Дата добавления: 2013-12-14