Класифікація точок розриву функцій

Теорема 2. Якщо функція — неперервна для а функція — неперервна для і значення функції то складна функція — неперервна для

Теорема 1. Якщо функції і неперервні у точці то у цій точці будуть неперервними функції; в останньому випадку за умови, що

Властивості неперервних функцій

Приклад. Дослідити функції на неперервність.

Оскільки то функцію можна вважати суперпозицією таких неперервних функцій: Отже, за теоремою 2 функція — неперервна

Тепер за теоремою 1 неважко встановити, що функція — неперервна а функція — неперервна як відношення неперервних функцій

Зауваження. Можна довести, що всі основні елементарні функції будуть неперервними в кожному з відкритих проміжків своєї області визначення.

Теорема 3 (Коші). Якщо функція неперервна на закритому проміжку і на кінцях проміжку набуває значення різних знаків (наприклад), тоді на відкритому проміжку існує така точка х = с, що (рис. 3.16).

Рис. 3.16

Наслідок. Якщо функція неперервна на і то на набуває всіх проміжних значень між числами А і В.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на закритому проміжку, то вона набуває на цьому проміжку своїх найбільших й найменших значень
(рис. 3.17).

Рис. 3.17

Означення. Функція називається розривною в точці якщо порушується хоча б одна з умов рівності

Розрізняють точки розриву 1-го і 2-го роду. Розриви 1-го роду бувають усувні й неусувні; розриви 2-го роду — завжди неусувні.

Означення. Точка називається точкою розриву 2-го роду для функції, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва чи справа).

Означення. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив неусувний) для функції, якщо односторонні границі (зліва і справа) функції у цій точці існують, але не рівні між собою, тобто

Означення. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив усувний) для функції, якщо односторонні границі функції в цій точці існують, рівні між собою, але не дорів­нюють значенню функції в цій точці або функція у цій точці не існує, тобто

Зауваження. Точка усувного розриву відзначається тим, що існує але Тому на основі функції можна побудувати функцію

Методика дослідження функцій на неперервність.

1. Знайти область визначення функції

2. Дослідити функцію на неперервність у відкритих проміжках

3. Визначити скінченні граничні точки (с.г.т.) і обчислити односторонні границі функції у цих точках.

  Рис. 3.18

4. Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік функції поблизу цих точок. Для зручності побудови графіка функції рекомендується записати координати граничних точок графіка функції Символічний запис абсциси граничної точки означає, що абсциса довіль­ної точки графіка функції прямує до х ₀ зліва (х ₀ – 0) або справа (х ₀ + 0); а запис означає, що ордината довільної точки графіка функції при цьому прямує до у ₀ знизу (у ₀ – 0) або зверху (у ₀ + 0). Наприклад, для граничних точок і графік функції підходить до цих точок так, як показано на рис. 3.18.

До точки Р ₁ графік підходить зліва і зверху, а до точки Р ₂ — справа і знизу.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Область визначення цієї функції На кож­ному з інтервалів області визначення функція буде неперервна, як суперпозиція неперервних елементарних функцій. Скінченною граничною точкою D функції буде х = 1. Обчислимо такі границі:

Отже, х = 1 — точка розриву 2-го роду, бо одна з односторонніх границь не існує. Граничні точки графіка функції: Р ₁ (1 – 0; + 0), Р ₂(1 + 0; + ¥). Графік функції поблизу точки розриву показано на рис. 3.19. Зауважимо, що гранична точка Р ₂ (1 + 0; + ¥) лежить на нескінченності.

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Ця функція буде неперервною на кожному з проміжків
(–¥; 0) і (0; + ¥), бо є суперпозицією неперервних елементарних функцій. Границі — не існують. Отже, точка
х = 0 — точка розриву функції 2-го роду.

Записати координати граничних точок графіка функції неможливо, тому і побудувати графік функції поблизу самої точки розриву не можна (рис. 3.20).

Приклад. Дослідити на неперервність функцію.

l Скорочений запис розв’язування задачі:

— неперервна, як суперпозиція елементарних функцій.

х = 0 — с.г.т. D (y).

  Рис. 3.21

Таким чином, точка х = 0 є точкою розриву функції 1-го роду (розрив усувний), бо односторонні границі існують і рівні між собою (сама функція при х = 0 не існує).

Граничні точки графіка функції і зливаються в одну точку (рис. 3.21).

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Після розкриття функція перепишеться так:

На кожному з інтервалів функція неперервна. Розглянемо односторонні границі функції у точці х = – 2.

Рис. 3.22

Отже, точка х = – 2 — точка розриву 1-го роду (розрив неусувний), бо од­носторонні границі функції у цій точці існують, але не рівні між собою.

Граничні точки графіка функції такі: (рис. 3.22).

Дата добавления: 2013-12-14