Или окончательно получим

(2.5)

т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление р_С в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление р_о является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила F избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе F_ж давления от веса жидкости, т. е.

.

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рассматривать как сумму двух сил: F_о от внешнего давления p_о и силы F_ж от веса жидкости, то есть

F = F₀ + F_ж = (p_о + р_С) S.

Найдем точки приложения этих сил, называемых центрами давления.

Так как внешнее давление р_о передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая F_о будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления F_ж от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

,

где y_D — координата точки приложения силы F_ж

Выражая F_ж и dF_ж через у_С и у и определяя y _D, получаем

,

где — момент инерции площади S относительно оси Ох.

Учитывая, что ,

где J_xо — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ох, находим

. (2.6)

Таким образом, точка приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

.

Если давление р_о равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. При р_о выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как точку приложения равнодействующей двух сил: F_о и F_ж, чем больше первая сила по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

^ В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами а х b (рисунок 2.6) и одна из его сторон а лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления D находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.
2.4 Сила давления на криволинейные стенки. Плавание тел
Рассмотрим силу, действующую на криволинейную цилиндрическую стенку, которая погружена в жидкость так, что ее образующие параллельны свободной поверхности жидкости (рисунок 2.7). Такие стенки распространены на практике. В этом случае задача может быть сведена к определению равнодействующей силы, лежащей в вертикальной плоскости, перпендикулярной образующим цилиндрической поверхности. Определение этой силы сводится к определению ее вертикальной и горизонтальной составляющих.

В пределах цилиндрической поверхности (см. рисунок 2.7) выделим участок АВ и найдем силу F, действующую на этот участок при условии, что на свободной поверхности жидкости существует давление р₀. Причем определим эту силу для двух случаев: жидкость расположена над цилиндрической поверхностью (см. рисунок 2.7, а) и под ней (см. рис. 2.7, б). При определении силы, действующей на стенку, будем учитывать, что со стороны стенки на жидкость действует такая же сила, но в противоположном направлении.

Для определения силы F в первом случае (см. рисунок 2.7, а) выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ и вертикальными плоскостями, проходящими через границы выбранного участка. На рисунке 2.7, а эти плоскости отображены линиями AL и ВК. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема в вертикальном и горизонтальном направлениях, из которых найдем вертикальную F_B и горизонтальную F_Г составляющие силы F. Навыделенный объем жидкости в вертикальном направлении, кроме силы F_B, действуют его вес G и сила давления на свободную поверхность, равная произведению давления р₀ на площадь горизонтальной проекции поверхности АВ, обозначаемую S_r. Тогда из условия равновесия найдем вертикальную составляющую

F_В = p_o S _Г + G. (2.7)

При рассмотрении условия равновесия в горизонтальном направлении будем считать, что силы, действующие на поверхности ЕК и AL, взаимно уравновешены. Следовательно, на выделенный объем жидкости в горизонтальном направлении, кроме искомой силы F₁, действует только сила давления на площадь вертикальной проекции поверхности АВ, обозначаемую S_B. Ее найдем по формуле (2.4):

F_Г = p_C S_B = (p₀+h_c ρ g) S_В, (2.8)

где h_c - глубина погружения центра тяжести поверхности АВ, S_B — площадь поверхности BE.

Определив по формулам (2.7) и (2.8) вертикальную F_B и горизонтальную F_Г составляющие силы F, найдем ее численное значение по зависимости

. (2.9)

Зависимости (2.7) - (2.9) получены для случая с расположением жидкости над криволинейной поверхностью. Очевидно, что при расположении жидкости снизу относительно стенки (см. рисунок 2.7, б) давления в соответствующих точках будут точно такими, как и в первом случае. Поэтому и силы, действующие на стенку (полная сила и ее вертикальная и горизонтальная составляющие), будут такими же по значению. Но направления этих сил будут противоположными, так как жидкость действует на стенку с обратной стороны. Таким образом, формулы (2.7) - (2.9) будут справедливы и для этого случая. При этом в формулу (2.7) входит та же величина G, т.е. вес жидкости, которая заняла бы объем ABKL (выделен на рис. 2.7, б).

Полученные зависимости справедливы для цилиндрической поверхности, которая погружена в жидкость так, что ее образующие параллельны свободной поверхности. Аналогичным образом могут быть получены формулы для произвольной криволинейной поверхности. Их отличие будет в том, что полная сила F будет равна векторной сумме не двух составляющих сил (как в предыдущем случае), а трех. Причем одна из этих составляющих будет вертикальной, а две — горизонтальными и взаимно-перпендикулярными.

Определение положения точки приложения силы F, действующей на криволинейную стенку, является весьма сложной задачей, которая решается с использованием графических или численных (компьютерных) методов. Определение положения точки приложения силы F, действующей на поверхность вращения (например, цилиндрическую), упрощается, так как в этом случае линия действия силы F проходит через ось вращения поверхности.

Важной задачей при решении некоторых практических вопросов является определение силы, выталкивающей тело, погруженное в жидкость. На рисунке 2.8, а изображено тело произвольной формы, погруженное в жидкость. Рассмотрим силы, действующие на это тело в вертикальном направлении.

При рассмотрении сил, действующих на тело, условно разделим его замкнутой линией MNOR на две части: верхнюю и нижнюю. Причем линия разделения MNOR проведена так, что ее проекция и проекция тела на свободную поверхность жидкости (т. е. вертикально вверх) полностью совпадают. Обозначим вес жидкости, расположенной над телом, G₀ (на рисунке 2.8, а выделена штриховкой), а вес жидкости, вытесненной телом, — G, т.е. это вес жидкости, которая заняла бы объем погруженного тела (на рис. 2.8, а выделен затемнением).

Вертикальную силу (см. рисунок 2.8, а),действующую на нижнюю поверхность тела, определим с использованием формулы (2.7):

F_B1 = p₀ S_Г + G₀ + G, (2.10)

где S_Г — площадь горизонтальной проекции тела на свободную поверхность жидкости.

Таким же образом найдем вертикальную силу (см. рисунок 2.8, а), действующую на верхнюю часть тела:

F_B2 = p₀ S_Г + G_0. (2.11)

Их равнодействующая сила F_a, направленная вверх, будет равна алгебраической сумме этих сил и с учетом (2.10) и (2.11) определяется по формуле

.

Силу F_a принято называть архимедовой силой, а полученную для ее определения зависимость — законом Архимеда, согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости, вытесненной телом.

Точкой приложения этой силы является геометрический центр тела, который называется центром водоизмещения. Он может не совпадать с центром тяжести тела. Эти центры совпадают, если тело состоит из однородного и равномерно распределенного вещества. Плавающее тело будет находиться в устойчивом равновесии, когда центр водоизмещения располагается выше центра тяжести тела, и они лежат на одной вертикальной прямой (см. рисунок 2.8, б).
^ 2.5 Относительный покой жидкости
Под относительным покоем понимают неподвижное состояние жидкости относительно сосуда, который движется с постоянным ускорением. Например, в относительном покое может находиться жидкость в емкости, которая установлена на разгоняющейся транспортной машине (топливный бак автомобиля). В относительном покое будет также находиться жидкость в сосуде, вращающемся с постоянной скоростью.

Законы, действующие при относительном покое жидкости, принципиально не отличаются от ранее рассмотренных законов гидростатики. Но если в ранее рассмотренных случаях на жидкость действовала только одна массовая сила — сила тяжести, то при относительном покое появляется новая — сила инерции. Это приводит к изменению положения свободной поверхности жидкости и изменению давлений в различных ее точках.

Анализ относительного покоя удобно проводить для сил, действующих на условную частицу жидкости единичной массы (массой т = 1). При таком подходе сила всегда численно равна соответствующему ускорению. Например, на частицу единичной массы действует сила тяжести G = mg =1 g = g. Таким образом, математические зависимости существенно упрощаются.

Рассмотрим прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением (или замедлением) а. В этом случае на каждую частицу жидкости единичной массы действуют две силы: сила тяжести g сила инерции а (рисунок 2.9). Равнодействующая этих двух сил

(2.12)

определяет положение свободной поверхности жидкости, так как угол между этой поверхностью и силой всегда составляет 90°. Изгеометрических соображений (см. рисунок 2.9) следует, что положение свободной поверхности может быть задано углом α, значение которого найдем из отношения

tga = а/g.

Для определения давления в произвольно выбранной точке на расстоянии l от свободной поверхности используется математическая зависимость

p = p₀ + l ρ j. (2.13)

Она получена тем же методом, что и основное уравнение гидростатики, но учитывает действие не только сил тяжести, но и сил инерции.

Э
та зависимость является более общей, чем основной закон гидростатики, который может быть получен из нее как частный случай. Действительно, при а= 0 из (2.12) следует j = g. Тогда c учетом l = h из (2.13) получим формулу (2.1), т.е. основное уравнение гидростатики.

Д
ругим случаем относительного покоя жидкости является вращение сосуда с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 2.10). При вращении на каждую частицу жидкости единичной массы, расположенную на радиусе r, также действуют две силы: сила тяжести g и сила инерции, вызванная центробежным ускорением, а = ω ² r. Равнодействующая этих двух сил

определяет положение свободной поверхности жидкости. Но в рассматриваемом случае центробежное ускорение является переменной величиной, так как зависит от радиуса расположения точки. Поэтому поверхность вращения принимает параболическую форму и описывается уравнением

,

где z₀ — высота расположения точки свободной поверхности относительно дна сосуда;

h ₀ — высота жидкости на оси вращения.

Формула для определения давления р в любой точке жидкости может быть получена методом, использованным в подразделе 2.1. Тогда после математических преобразований найдем давление в точке, расположенной на радиусе r и высоте z относительно дна сосуда:

. (2.14)

На практике часто встречается другой частный случай — вращение сосуда с очень высокой скоростью. В этом случае центробежные силы существенно больше сил тяжести и жидкость отбрасывается центробежными силами к стенкам сосуда (рисунок 2.11), а ее свободная поверхность располагается на радиусе r₀. Тогда некоторыми геометрическими величинами, входящими в формулу (2.12), можно пренебречь и формула для определения давления упрощается:

. (2.15)

Следует отметить, что формула (2.14) получена для сосуда, имеющего вертикальную ось вращения, а формула (2.15) применима для вращающихся сосудов с любым расположением оси в пространстве.

^ 3 КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ
3.1 Основные понятия и определения
Уравнения кинематики и динамики жидкости весьма значительно отличаются от аналогичных уравнений для твердого тела. Это вызвано, прежде всего, особенностями исследуемого объекта - жидкости, частицы которой не имеют жесткой связи между собой. Отсутствие жесткой связи существенно усложняет рассмотрение процессов, происходящих в жидкости. Для упрощения изучения течений в гидромеханике широко используется так называемая идеальная жидкость. Под этим термином понимают гипотетическую несжимаемую жидкость, в которой отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия, то есть отсутствует вязкость. Тогда происходящие явления сначала исследуются применительно к идеальной жидкости, а затем полученные закономерности переносятся с введением корректирующих поправок на потоки реальных жидкостей.

Течение жидкости, как и любое другое движение, может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся называется течение, при котором все физические параметры (скорость, давление и другие) зависят только от координат точки и остаются неизменными во времени, то есть р = f₁ (х,y,z), υ = f₂ (х,y,z), . Примером установившегося течения может служить истечение через отверстие в дне сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень жидкости, или движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотой вращения вала. В частном случае установившееся течение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не изменяется с изменением ее координаты, и поле скоростей остается неизменным вдоль потока. При неустановившемся течении физические параметры потока (или некоторые из них) изменяются в пространстве и во времени. В общем случае неустановившегося течения давление и скорость зависят как от координат, так и от времени: р = F₁ (х,y,z,τ), v = F₂ (х,y,z,τ). Для примера можно привести рассматриваемое выше истечение, но без поддержания постоянного уровня жидкости в сосуде, то есть истечение до полного опорожнения или в напорной трубе поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение. В дальнейшем будут рассматриваться в основном установившиеся течения жидкости.

Для описания движения в механике жидкости существуют разные подходы, в которых рассматриваются различные модели сплошной среды и соответствующие им уравнения движения (Коши, Эйлера и другие). В машиностроительной гидравлике поток жидкости принято представлять как совокупность элементарных замкнутых объемов, движущихся совместно. Важное значение в этой модели имеет понятие «линия тока». Под этим термином понимают условную линию в потоке жидкости, проведенную так, что вектор скорости в любой ее точке направлен по касательной (линия 1 на рисунке 3.1). При установившемся течении линия тока совпадает с траекторией движения частицы жидкости. Необходимо также отметить, что при установившемся течении в любой точке потока существует только одна (неизменная во времени) скорость. Поэтому через данную точку может проходить только одна линия тока. Следовательно, линии тока при установившемся течении не могут пересекаться.

Если в потоке жидкости взять бесконечно малую замкнутую линию ^ 2 (смотри рисунок 3.1), состоящую из множества точек, и через каждую из этих точек провести линию тока 3, то множество этих линий образуют трубчатую поверхность. Такую поверхность принято называть трубкой тока, а часть потока внутри этой поверхности — элементарной струйкой.

Как было отмечено ранее, при установившемся течении линии тока не пересекаются и, следовательно, ни одна линия тока не может пронизывать трубку тока (иначе она пересечет одну из линий, образующих эту трубку). Следовательно, ни одна частица жид­кости не может проникнуть внутрь трубки тока или выйти из нее. Таким образом, выделенная трубка тока при установившемся течении является непроницаемой стенкой для жидкости.

Сечениями потока (или струйки) жидкости принято называть поверхности, нормальные к линиям тока. Например, поверхность dS₁, ограниченная замкнутым контуром 2 (затемнена на рисунке 3.1), является сечением для элементарной струйки. При параллельно-струйном течении сечения представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению движения жидкости. Сечения потоков или струй жидкости иногда также называют живыми сечениями.

Различают напорные и безнапорные течения жидкости. Напорными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхности, а безнапорными — течения со свободной поверхностью. Примерами напорного течения могут служить течения в трубопро­водах, гидромашинах, гидроаппаратах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах. В данном учебном пособии рассматриваются в основном напорные течения жидкости.
^ 3.2 Расход. Уравнение расхода
Расход — это количество жидкости, которое протекает через данное сечение в единицу времени. Количество жидкости можно измерять в единицах объема, массы или веса. Поэтому различают объемный Q (м³/с), массовый Q_Ь кг/с) и весовой Q_G (Н/с) расходы.

Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать скорость υ одинаковой во всех точках сечения. Следовательно, объемный расход для элементарной струйки dQ = υ dS.

Основываясь на законе сохранения вещества и полагая, что течение внутри элементарной струйки является сплошным и неразрывным, можно утверждать, что для установившегося течения несжимаемой жидкости

dQ = υ₁ dS₁ = υ₂ dS₂ = const. (3.1)

Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.

Для потока конечных размеров скорость в общем случае имеет различные значения в разных точках сечения, поэтому расход определяют как сумму элементарных расходов струек, составляющих поток.

(3.2)

На практике удобнее определять расход через среднюю по сечению потока скорость υ_ср = Q / S, откуда Q = υ_ср ·S.

Очевидно, что и для потока конечных размеров при условии его сплошности и неразрывности будет выполняться условие постоянства объемного расхода вдоль потока, то есть

Q = υ_ср1 ·S₁ = υ_ср2 ·S₂ = const. (3.3)

Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений

. (3.4)

Полученные уравнения расходов (3.1) и (3.3) являются следствием общего закона сохранения вещества.
^ 3.3 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Рассмотрим установившееся течение элементарной струйки идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы — силы тяжести (рисунок 3.2). В рассматриваемом случае в жидкости могут действовать нормальные напряжения сжатия (давление), но не могут действовать касательные напряжения (трение), так как у жидкости отсутствует вязкость.

Для вывода уравнения Бернулли выберем два сечения 1—1 и 2—2, а также произвольную горизонтальную поверхность О—О. Будем считать, что в сечении 1—1 площадью dS₁ скорость жидкости υ₁ и действует давление р₁,а его центр тяжести располагается на высоте z₁ относительно выбранной поверхности 0 - 0. Сечение 2—2 характеризуется аналогичными параметрами, но с индексом «2» (dS₂, υ₂, р₂ и z₂).

Пусть за время dτ участок струйки, ограниченный сечениями 1—1 и 2—2, сдвинулся и занял новое положение, ограниченное сечениями 1'—1' и 2'—2'. Тогда первое сечение переместилось на расстояние dl_1, а второе сечение — на расстояние dl₂. При этом можно условно считать, что часть ограниченного объема жидкости осталась на месте (объем между сечениями 1—1 и 2—2), а другая часть между сечениями 1—1 и 1'—1' (на рисунке 3.2 затемнена) переместилась на место между сечениями 2—2 и 2'—2' (на рисунке 3.2 также затемнена), т. е. объемы затемненных участков равны:

.

Следовательно, равны и массы этих объемов (dm), а также одинаковы их веса (dG).

Для вывода уравнения Бернулли применим к жидкому телу, находящемуся между сечениями 1— 1 и 2—2, теорему механики об изменении кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.

Как следует из сказанного ранее, кинетическая энергия участка жидкости между сечениями 1'—1' и 2—2 за время dτ не изменилась, так как этот участок условно можно считать неподвижным. Тогда изменение кинетической энергии всего жидкого тела будет определяться разностью кинетических энергий выделенных объемов (участков, затемненных на рисунке 3.2), а точнее, изменением их скоростей, так как их массы одинаковы, т. е.

Работу за отмеченный промежуток времени совершают силы тяжести и силы давления. При оценке работы сил тяжести также будем учитывать условную неподвижность участка жидкости между сечениями 1'—1' и 2—2. Тогда работа сил тяжести A_G определится перемещением веса dG на расстояние (z₁ – z₂):

A_G =dG (z₁ – z₂).

Работа сил давления A _p будет складываться из двух величин: (работы положительной силы и работы отрицательной силы). Первая, равная произведению давления p_l на площадь dS₁, способствует сдвигу сечения 1—1 на расстояние dl₁, а вторая, равная произведению давления р₂ на площадь dS₂, препятствует перемещению сечения 2—2 на расстояние dl₂, то есть

.

Приравняв сумму работ сил тяжести A_G и давления A_p к изменению кинетической энергии тела Е_к, получим

.

Разделим каждый член последнего уравнения на вес dG. После математических преобразований, учитывая, что dG = dm·g = dV·ρ·g,получим

, (3.5)

где z – геометрический напор, м;

р / ρ·g – пьезометрический напор, м;

υ² / 2g – скоростной напор, м.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.

Трехчлен вида

называется полным напором.

Уравнение Бернулли (3.5) записано для двух произвольно выбранных сечений. Очевидно, что для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение:

.

Таким образом, для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.
^ 3.4 Геометрическая и энергетическая иллюстрация уравнения Бернулли
Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости, показанную на рисунке 3.3. Измерим величины геометрического, пьезометрического и скоростного напоров в сечениях 1- 1, 2 - 2 и 3 - 3.

Как видно из рисунка, сумма трех напоров, представляющая собой полный напор, во всех сечениях будет одинакова, а линия полного напора параллельна произвольной горизонтальной плоскости сравнения, то есть тоже горизонтальна. Если соединить поверхности жидкости в пьезометрах, установленных вдоль потока плавной линией, то получим геометрическое место точек, называемое пьезометрической линией.

Величина пьезометрического напора зависит от размеров сечения. Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т. е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот, если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление возрастает.

На рисунке 3.3 в виде примера показана струйка, площадь поперечного сечения которой от сечения ^ 1 — 1 к сечению 2 — 2 уменьшается в 4 раза, в связи, с чем скоростной напор увеличивается в 16 раз, а сечение 3 — 3 имеет ту же площадь, что и сечение 1 — 1. Штриховой линией показана пьезометрическая линия при увеличении расхода еще в раз, вследствие чего скоростные высоты увеличиваются в два раза, а в узкой части струйки давление становится меньше атмосферного, т.е. возникает вакуум.

Уравнение Бернулли можно записать в другой форме. Помножив уравнение (3.5) на ускорение свободного падения g, получим

(3.6)

Рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли, записанный в форме (3.6). Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице массы.

Нетрудно показать, что члены этого уравнения являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно:

gz — удельная потенциальная энергия положения,

р/ρ — удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости,

υ²/2 — удельная кинетическая энергия жидкости,

- полная удельная механическая энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоян­стве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, давления и кинетическая энергия. Первая и третья формы механической энергии известны из механики, и они в равной степени свойственны твердым и жидким телам. Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей и газов. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в дру­гую, однако полная удельная энергия при этом, как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

Как всякая форма энергии - энергия давления легко преобразуется в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является цилиндр с поршнем (рисунок 3.4). При подаче жидкости под давлением в левую полость цилиндра поршень со штоком будет перемещаться вправо, преодолевая усилие, приложенное к штоку, таким образом совершать полезную работу.

^ 3.5 Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
Пусть поток реальной жидкости, обладающей вязкостью, движется в русле, ограниченном неподвижными стенками. При этом вследствие трения между слоями жидкости существенно возрастает неравномерность распределения скоростей по сечению потока (рисунок 3.5), а также возникают потери энергии на трение при перемещении жидкости от одного сечения к другому. Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием, что тоже требует затрат энергии. Поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоления сопротивлений, и, следовательно, уменьшается вдоль потока.

Получим уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, основываясь на том, что оно является законом сохранения энергии для движущейся жидкости. Вывод этого уравнения проведем в два этапа. На первом этапе учтем неравномерность распределения скоростей по сечению потока, а на втором учтем и потери энергии.

При выводе будем считать, что в пределах выбранных сечений гидростатический напор остается постоянным:

. (3.7)

Это справедливо для сечений с параллельно струйным течением жидкости, т. е. когда эти сечения являются плоскими. Поэтому уравнение, которое будет получено ниже, может использоваться только для плоских или близких к ним сечений.

На первом этапе определим формулу для вычисления мощности N потока реальной жидкости в его сечении. Вычисление этого параметра затруднено тем, что из-за перераспределения скоростей (см. рисунок 3.5),разные слои жидкости несут различное количество энергии. Для определения мощности N в сечении (например, в сечении 1— 1 на рисунке 3.5) выберем струйку жидкости бесконечно малой поперечной площади dS, в пределах которой скорость жидкости будем считать постоянной, равной υ. Тогда полный напор (или полная удельная энергия) в сечении струйки

. (3.8)

Мощность струйки dN всечении площадью dS равнапроизведению удельной энергии Н и веса жидкости, которую проносит поток через это сечение в единицу времени, т.е. элементарного весового расхода dQ_G. Тогда с учетом (3.6) и (3.1) получим математическую зависимость для мощности струйки:

. (3.9)

Мощность всего потока в сечении найдем, просуммировав мощности всех элементарных струек, т. е. вычислив интеграл по площади S от выражения (3.9):

.

После математических преобразований зависимость для мощности потока реальной жидкости принимает следующий вид:

, (3.10)

где α – безразмерный коэффициент, определяемый по формуле

. (3.11)

Этот коэффициент, называемый коэффициентом Кориолиса, учитывает неравномерность распределения скорости жидкости в сечении реального потока. Если числитель и знаменатель в формуле (3.11) умножить на ρ/2, то станет очевидно, что коэффициент α есть отношение действительной кинетической энергии реального потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока в том же сечении, но посчитанной по средней скорости жидкости в данном сечении. В этом заключается физический смысл коэффициента Кориолиса.

Алгебраическое выражение, ограниченное скобками в (3.10), принято называть средним значением полного напора в сечении реального потока, т.е.

. (3.12)

Средний напор Н_ср широко используется в практических расчетах, так как является важнейшим параметром, характеризующим механическую энергию (или мощность) потока реальной жидкости. Для подтверждения этого решим уравнение (3.10) относительно H_ср с учетом (3.12). Тогда получим

. (3.13)

Из анализа зависимости (3.13) следует, что при постоянном расходе Q средний напор H_ср пропорционален мощности N и в пределах данного потока однозначно определяет эту мощность. Поэтому средний напор H_ср, вычисляемый с учетом неравномерности распределения скоростей в сечении по формуле (3.12), в дальнейшем будем использовать в качестве основного параметра, характеризующего механическую энергию потока реальной жидкости.

Учтем теперь потери энергии, возникающие при движении жидкости. В реальных потоках из-за этих потерь среднее значение полного напора в конечном сечении всегда меньше, чем в начальном сечении, т.е. H _{ср 1} > H _{ср 2}. Поэтому при записи уравнения баланса энергий (средних напоров) в его правую часть добавляют слагаемое , учитывающее потери удельной энергии. Тогда уравнение баланса принимает вид

,

или с учетом (3.12)

, (3.14)

Уравнение (3.14) носит название уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

Сравним уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости (3.6) и уравнение для потока реальной жидкости (3.14). Из этого сравнения следует, что в последнем уравнении дополнительно присутствуют α и .

При равномерном распределении скоростей по сечению потока α = 1 (поток идеальной жидкости). В потоках реальной жидкости коэффициент Кориолиса в большинстве случаев лежит в пределах 1 < α < 2.

Суммарная потеря полного напора на участке между начальным и конечным сечениями складываются из суммы потерь удельной энергии во всех гидравлических сопротивлениях, расположенных на рассматриваемом участке потока. В гидравлике эти потери энергии принято делить на две группы: местные потери и потери на трение по длине.

^ Местные потери h_м - это потери в так называемых местных гидравлических сопротивлениях, к которым относятся поворот, сужение или расширение потока, а также различные гидравлические устройства (вентили, жиклеры и т.д.). Потери в большинстве этих сопротивлений вызваны вихреобразованием. Как показывает практика, они пропорциональны квадрату скорости жидкости, а для оценки их величины используется формула Вейсбаха

, (3.15)

где ζ — безразмерный коэффициент, определяющий потери в данном местном сопротивлении;

υ_ср — средняя скорость в трубопроводе, в котором установлено местное сопротивление.

Второй вид гидравлических потерь - потери на трение по длине h_тр — это потери, которые имеют место в длинных прямых трубах постоянного сечения. Потери на трение по длине вызваны как внутренним трением в жидкости, так и трением о стенки трубы. Эти потери пропорциональны длине трубы l и обратно пропорциональны ее диаметру d. Они имеют достаточно сложную зависимость от средней скорости жидкости (это будет рассмотрено позднее), но во всех случаях для их оценки может быть использована универсальная для гидравлики формула Дарси

, (3.16)

где λ — безразмерный коэффициент потерь на трение по длине, который принято называть коэффициентом Дарси.

Следует отметить, что определение потерь энергии при расчете гидравлических систем является одной из наиболее важных проблем гидравлики.

Дата добавления: 2013-12-14