Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Модуль 7: «елементи геометрії. Величини. »




Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. сфера) та їх зображення на площині.

Особливу групу многогранників складають правильні многогранники. В означенні правильного многогранника нічого не говориться про їх існування. Саме тому доведемо наступну теорему, яку можна назвати теоремою про існування правильних многогранників.

Теорема: Різних видів правильних многогранників існує не більше п’яти.

Доведення:

Для доведення теореми будемо утворювати правильні многогранники, гранями яких будуть спочатку правильні трикутники, потім чотирикутники (квадрати), потім п’ятикутники і таке інше. Утворивши їх, ми будемо з’ясовувати існують вони чи ні. При доведенні теореми нам доведеться спиратися на деякі твердження, а саме: 1) в одній вершині многогранного кута може сходитися не менше трьох граней; 2) сума плоских кутів многогранного кута менша за 360º; 3) сума внутрішніх кутів многокутника обчислюється за формулою 2d(n-2), де d=90º, а n – це кількість сторін многокутника; 4) щоб знайти величину внутрішнього кута правильного многокутника, слід суму його внутрішніх кутів поділити на кількість сторін.

Оскільки найпростішим правильним многокутником є трикутник, то з’ясуємо чи існують правильні многогранники, гранями яких є правильні трикутники. Відомо, що кожен кут правильного трикутника дорівнює 60º. Нехай в одній вершині многогранника сходиться три трикутника. Тоді сума плоских кутів многогранного (тригранного) кута дорівнює 60º•3=180º<360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають тетраедром і він має 4 грані, 4 вершини і 6 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 4+4-6=2. Грані цього многогранника є правильні трикутники. Цей многогранник являє собою трикутну піраміду, всі грані якої правильні трикутники.

Нехай в одній вершині многогранника сходиться чотири трикутника. Тоді сума плоских кутів многогранного (чотиригранного) кута дорівнює 60º•4=240º< 360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають октаедром і він має 8 граней, 6 вершин і 12 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 8+6-12=2. Грані цього многогранника є правильні трикутники. Цей многогранник являє собою дві чотирикутні піраміди, які зіставлені основами, але всі грані якої правильні трикутники.

Нехай тепер в одній вершині многогранника сходиться п’ять трикутників. Тоді сума плоских кутів многогранного (п’ятигранного) кута дорівнює 60º•5=300º<360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають ікосаедром і він має 20 граней, 12 вершин і 30 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 20+12-30=2. Грані цього многогранника є правильні трикутники.

Нехай в одній вершині многогранника сходиться шість трикутників. Тоді сума плоских кутів такого многогранного кута дорівнює 60º•6=360º, тобто сума плоских кутів многогранного кута не менша за 360˚. Саме тому такого правильного многогранника, в одній вершині якого сходиться шість трикутників, існувати не може. Отже, правильних многогранників, гранями, якого є трикутники є три види: тетраедр, октаедр і ікосаедр.

Наступним видом правильних многокутників є правильний чотирикутник, тобто квадрат. Відомо, що кожен кут квадрата дорівнює 90º. З’ясуємо чи існують правильні многогранники, гранями яких є квадрати. Нехай в одній вершині многогранника сходиться три квадрати. Тоді сума плоских кутів многогранного (тригранного) кута дорівнює 90º•3=270º<360˚, а тому такий правильний многогранник існує. Його називають гексаедром або кубом і він має 6 граней, 8 вершин і 12 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 6+8-12=2. Грані цього многогранника є правильні чотирикутники (квадрати). Цей многогранник являє собою прямокутну призму, всі грані якої правильні чотирикутник. Нехай в одній вершині многогранника сходиться чотири квадрати. Тоді сума плоских кутів такого многогранного кута дорівнює 90º•4=360º, тобто сума плоских кутів многогранного кута не менша за 360˚. Саме тому такого правильного многогранника, в одній вершині якого сходиться чотири квадрати, існувати не може. Отже, існує лише один вид правильних многогранників, гранями, якого є квадрати. Це гексаедр або куб.

Перед тим, як з’ясувати, чи існують правильні многогранники, гранями яких є правильні п’ятикутники, визначимо величину внутрішнього кута правильного п’ятикутника. Суму внутрішніх кутів будь-якого п’ятикутника обчислюємо за формулою 2d(n-2), де d=90º і n=5. Отже, 2•90º•(5-2)=180º•3=540º. Тоді кожен кут правильного многогранника дорівнює 540º:5=108º. Нехай в одній вершині многогранного кута сходиться три правильних п’ятикутника. Сума плоских кутів такого многогранного кута дорівнює 108º•3=324º<360˚, тобто такий многогранник існує. Його називають додекаедром і він має 12 граней, 20 вершин і 30 ребер, що відповідає вимогам теореми Л.Ейлера, бо 12+20-30=2. Грані цього многогранника є правильні п’ятикутники. Оскільки 108˚•4=432º, що більше за 360˚, то правильних многогранників, в одній вершині якого б сходилося чотири правильних п’ятикутника, не існує. Таким чином, існує лише один вид правильних многогранників, гранями якого є правильні п’ятикутники, - це додекаедр.

Легко показати, що гранями правильного многогранника не можуть бути правильні шестикутники, семикутники, восьмикутники тощо. Отже, існує всього п’ять видів правильних многогранників. Це, по-перше, тетраедр, октаедр і ікосаедр, гранями, яких є правильні трикутники; по-друге, гексаедр або куб, гранями, якого є квадрати; по-третє, додекаедр, гранями якого є правильні п’ятикутники. Таким чином, існує всього п’ять видів правильних многогранників. Теорему доведено.

 

3. Наступним видом геометричних фігур є тіла обертання. Наведемо означення цих фігур та їх елементів.

Означення: циліндром називається тіло, яке складається із двох кругів, що сполучаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів.

Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають відповідні точки кіл, - твірними циліндра. Із властивостей паралельного перенесення випливають наступні властивості циліндра: 1) основи циліндра рівні; 2) основи циліндра лежать в паралельних площинах; 3) твірні циліндра паралельні; 4) твірні циліндра рівні.

А1

О1 ОО1 – вісь циліндра

В1 ОА=ОВ=О1А11В1 – радіуси основ

АА1=ВВ1 – твірні циліндра

А АА1В1В – осьовий переріз

О

 

В

Малюнок № 14. Циліндр.

 

Означення: циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні площинам основ.

Означення: висотою циліндра називається відстань між площинами основ.

Означення: віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ циліндра.

Як можна одержати прямий циліндр за допомогою обертання? - обертаючи прямокутник навколо сторони. Саме тому можна прийняти наступне означення.

Означення: циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з сторін.

Означення: конусом називається тіло, яке складається із круга – основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга, - вершини конуса, і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи.

 

S S – вершина конуса

SO – вісь і висота

SA=SB - твірні

В SAB – осьовий переріз

 

О

А

Малюнок № 15. Конус.

 

Означення: конус називається прямим, якщо пряма, яка сполучає вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи.

Означення: висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи.

Як можна одержати прямий круговий конус обертанням? – обертанням прямокутного трикутника навколо катета.

Означення: конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів.

Означення: кулею називається тіло, яке складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані, не більшій за дану, від даної точки.

Означення: сферичною поверхнею або сферою називається границя кулі.

Як одержати кулю обертанням? - обертанням півкруга навколо діаметра.

Означення: кулею називається тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 488; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.