Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки

II. Прямая линия на плоскости

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется её направляющим вектором.

Замечание. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из них коллинеарны, так как они параллельны одной прямой.

Положение прямой определено однозначно, если даны её направляющий вектор и некоторая её точка или две точки прямой.

Определение 2. Нормалью к прямой называется любая ей перпендикулярная прямая. Её направляющий вектор называется нормальным вектором данной прямой.

Теорема 1. Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и имеющая нормальный вектор (a;b), задаётся уравнением:

a(x-x₀)+b(y-y₀)=0 (1)

Доказательство.

1) Докажем, что координаты любой точки M(x;y) прямой удовлетворяют уравнению (1).

Имеем: (x-x₀;y-y₀), (a;b). => =0 => a(x-x₀)+b(y-y₀)=0.

2) Докажем, что координаты любой точки N(x;y), не лежащей на данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяет.

Действительно, _┴ => ≠0 => a(x-x₀)+b(y-y₀)≠0.

Согласно определения 1 из §6 уравнение вида (1) – уравнение данной прямой.

Теорема доказана.

Теорема 2. Прямая, проходящая через две данные точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂), задаётся уравнением:

(2)

Доказательство.

1) Пусть M(x;y) произвольная точка данной прямой.

=(x-x₁;y-y₁),

=(x₂-x₁;y₂-y₁).

|| => их соответствующие координаты пропорциональны и справедливо равенство (2).

2) Пусть точка N(x;y) не лежит на прямой, тогда || и равенство (2) не выполняется.

По определению уравнение вида (2) – уравнение данной прямой.

Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение прямой, содержащей медиану CD треугольника ABC с вершинами: A(1;-4), B(3;2), C(5;-1).

1)

2) CD(2-5;-1-(-1))=(-3;0).

Пусть M(x;y) – произвольная точка данной прямой.

y = -1 – уравнение CD.

Или: y = -1.

Дата добавления: 2013-12-14