Замечания

Общее уравнение прямой

Теорема 1. 1) Всякое уравнение первой степени вида

ax + by + c = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, является уравнением прямой с нормальным вектором (a;b);

2) Обратно, уравнение любой прямой может быть записано в виде (1).

Доказательство.

1) Уравнение (1) имеет бесконечное множество решений – пар чисел вида (x;y). Пусть (x₀;y₀) – одно из решений. Тогда:

ax₀ + by₀ + c = 0. (2)

Вычтем (2) из (1):

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0. (3)

По теореме 1 из §7 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку M₀(x₀;y₀) и имеющую нормальный вектор (a;b).

2) Пусть дана некоторая прямая и M₀(x₀;y₀) – некоторая точка этой прямой, а (a;b) – нормальный вектор этой прямой. Согласно теореме 1 из §7 она имеет уравнение:

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0.

Иначе:

ax + by - (ax₀ - by₀) = 0 или

ax + by + c = 0, где c = -ax₀ - by₀.

Теорема доказана.

1) Вектор (-b;a) является направляющим вектором прямой c уравнением (1). Действительно,

2) Любая алгебраическая линия 1-го порядка есть прямая линия.

Определение. Уравнение (1) называется общим уравнением прямой, а x и y – текущими координатами точки прямой.

Частные виды общего уравнения прямой.

1) r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ax+by=0.

2) Координаты точки О – начала координат удовлетворяют уравнению:, следовательно прямая проходит через начало координат.

Пример 1. x + 2y = 0, M(-2;1).

y = 1 => x + 2 = 0, x = -2.

2)

,.

Прямая параллельна оси Oy и отсекает на оси Ox отрезок a₀. Если a₀ = 0, то уравнение x = 0 задает ось ординат Oy.

3).

, >.

Прямая параллельна оси Ox и отсекает на оси Oy отрезок b₀. Если b₀ = 0, то уравнение y = 0 задает ось абсцисс Ox.

Пример 2. Построим прямую, заданную уравнением 2x – 3y – 6 = 0.

Для построения прямой по её уравнению достаточно знать два элемента, определяющие её. Этими элементами могут быть: а) направляющий вектор и некоторая точка прямой; б) две точки, лежащие на прямой.

а), M₀(6;2).

б) => => A(3;0) – точка пересечения данной прямой с осью Ox.

=> => B(0;-2) – точка пересечения данной прямой с осью Oy.

Дата добавления: 2013-12-14