Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Вычисление объема тела

Полярная система координат

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах

R = r (φ), φ [α;β], r (φ) С[α;β], rʹ (φ) С[α;β].

Уравнения связи полярных и декартовых координат:

Если φ считать параметром, то имеет место параметрическое задание кривой АВ:

Тогда

Поэтому

.

Из (13) следует:

. (14)

Пример 5. Вычислить длину кардиоиды

r = а (1+ cosφ).

Решение _▼ Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Находим половину длины. В соответствии с (14):

.

Следовательно

.

^▲

Найти объем V тела, если известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например, оси Ox:

S = S (х), х [ a; b ].

Вычисление объема на основе метода дифференциалов.

1. Через точку х [ a; b ] проводим плоскость Π₁ (Π₁ Ох).

Пусть:

- S (x) – площадь сечения тела плоскостью Π₁, S (x) С[ a; b ] (S (x) –известная функция);

- v (x) – объем части тела, лежащей левее Π₁;

- на отрезке [ a; х ] величина v есть функция т.е. v = v (x) (v (a)=0, v (b)= V).

2. Находим дифференциал dv. Он представляет элементарный объем между Π₁ и Π₂:

dv = S (x) dx.

3. Объем тела

. (15)

Выражение (15) – формула объема тела по площадям параллельных сечений.

Пример 6. Найти объем эллипсоида

.

Решение _▼ Любое сечение эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии x от нее есть эллипс (| x | ≤ а).

Уравнение эллипса

.

Площадь эллипса

.

По формуле (15):

.

^▲

Дата добавления: 2013-12-13