Алгоритм расчета. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа основан, как это следует из названия, на составлении системы уравнений по первому и второму законам

Содержание метода

МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа основан, как это следует из названия, на составлении системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и решении этой системы уравнений относительно искомых токов в ветвях заданной цепи. Условные положительные направления токов в ветвях, так же как и положительные направления обхода контуров, назначаются произвольно.

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых узлов, а по другому закону Кирхгофа - для независимых контуров цепи.

Узел цепи является независимым, если к нему присоединена хотя бы одна новая ветвь, не подходящая к ранее рассмотренным узлам.

Для цепи с q узлами независимыми узлами будет q-1 узел. Следовательно, по первому закону Кирхгофа может быть сос­тавлено число уравнений

M=q–1 (6.8)

Контур цепи является независимым, если он содержит хотя бы одну новую ветвь, не входящую в ранее рассмот­ренные контуры. Общее число N уравнений, которое может быть составлено по второму закону Кирхгофа, равно:

N=p-(q-1)=p–q+1, (6.9)

где p- число ветвей цепи.

Алгоритм расчета цепи методом непосред­ственного применения законов Кирхгофа предусматривает выполнение следующих этапов расчета:

1) составление исходной схемы замещения цепи;

2) перевод условий задачи в комплексную форму записи известных параметров цепи и электрических величин;

3) составление комплексной схемы замещения цепи и выбор условных положительных направлений токов в ветвях;

4) выбор независимых узлов и контуров и составление для них системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа;

5) решение системы уравнений относительно искомых комплексных токов и их оригиналов (мгновенных значений токов) и проверка правильности этого решения;

6) уточнение направлений найденных токов и проверка пра­вильности решения задачи в целом. Проверка может быть осущест­влена либо по законам Кирхгофа, либо на основе составления балан­са комплексных мощностей.

Иллюстрация метода

Условия задачи. Для электрической цепи синусоидального тока, электрическая схема замещения которой изображена на рис. 6.3 определить токи в ветвях.

Рис.6.3 - Электрическая схема замещения цепи

Параметры элементов и функции ЭДС источников питания цепи заданы. Задачу решить методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

Решение. Составляем комплексную схему замещения цепи; назначаем произвольно и указываем на схеме условные положительные направления комплексных токов (рис. 6.4).

Рис.6.4 - Комплексная схема замещения цепи

(метод непосредственного применения Кирхгофа)

Все заданные ЭДС и параметры выражаем в комплексной форме:

Z ₀₁
Z ₀₂
Z ₁

Z ₅
Z ₆
Z ₇

Выбираем независимые узлы и контуры и подсчитываем число уравнений, которое может быть составлено на основе первого и второго законов Кирхгофа. Всего должно быть составлено 6 уравнений (по числу неизвестных токов). Условные положительные направления обхода контуров выбираем также произвольно (в нашем примере по часовой стрелке).

По первому закону Кирхгофа число уравнений

M=q–1=4–1=3.

По второму закону Кирхгофа число уравнений

N=p+1–q=6+1–4=3.

Система уравнений имеет вид:

Узел 1	(6.9)
Узел 2
Узел 3
Левый контур
Правый контур
Нижний контур

Решение полученной системы уравнений любым из известных методов позволяет определить комплексные токи. В частности, используя метод подставки, систему уравнений можно предварительно упростить, приведя к виду:

(6.10)

Найденные комплексные токи (корни системы уравнений) должны быть подставлены в уравнения для проверки правильности решения системы уравнений. Должно получиться тождество - равенство левой и правой частей каждого уравнения.

По найденным комплексным токам на основе закона Ома можно определить комплексные напряжения на элементах.

Далее от комплексных токов и напряжений осуществляем переход к оригиналам - мгновенным или действующим значениям истинных токов в ветвях.

Проверка решения задачи в целом должна быть выполнена на этапе решения в комплексной форме (после нахождения всех комплексных токов и напряжений), либо на основе законов Кирхгофа для тех узлов и контуров, которые не входили еще в рассмотрение, либо по балансу комплексных мощностей, либо на основе построения векторной диаграммы цепи на комплексной плоскости.

При необходимости проверка может быть выполнена и на конечном этапе (для мгновенных значений токов и напряжений).

Достоинство метода - в его пригодности для расчета цепей любой сложности, недостаток - в громоздкости решения систем уравнений высоких порядков.

Дата добавления: 2013-12-14