О предмете аналитической геометрии. Координаты на плоскости

Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода.

В основе этого метода лежит представление о координатах, впервые предложенное французским математиком и философом Рене Декартом (1596-1650). Он высказал гениальную мысль, перевернувшую геометрические представления, существовавшие до него: геометрические образы и связанные с ними задачи можно истолковать на языке расчетных формул, и, обратно, факты анализа на формальном языке можно представить в виде геометрических образов.

Чтобы ясно представить себе смысл координатного представления, введем понятие координатной оси.

Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.

Указать направление на прямой — значит, указать отрезок, расположенный на этой прямой, причем такой, что у него нельзя спутать начало и конец. Иначе говоря, существует упорядоченная пара точек, принадлежащих данной прямой. В этом случае можно поместить начало отсчета в начало направленного отрезка и считать эту точку началом координат. Обычно начало координат обозначают точкой О, а направленный отрезок, лежащий на прямой, называют направляющим вектором. Любая точка Х на оси может быть задана длиной соответствующего отрезка ОХ, а для подчеркивания направления (точка Х может лежать как справа, так и слева от начала координат), обозначают направленный отрезок ОХ. Если с направляющим вектором связать некий числовой масштаб, т.е. считать его длину за единицу, то любая точка может задаваться просто числом, положительным в случае ее нахождения справа от начала координат, и отрицательным — слева. Именно так строится числовая ось для обозначения действительных чисел.

Если на плоскости построить две взаимно перпендикулярные оси координат ОХ и ОY с общим началом, то любая точка плоскости может быть задана парой чисел (X,Y). В аналитической геометрии предполагается, что обе оси координат соответствуют действительным числам. Вообще говоря, можно придать координатным осям и другой смысл, но мы пока затрагивать этот «другой смысл» не будем.

Не всегда простейшая декартова система координат является наиболее удобной для представления геометрических образов. Часто используется полярная система координат, в которой точка на плоскости задается поворотом направленного отрезка положительной полуоси ОХ на некоторый угол φ. Положительным направлением поворота считается направление против часовой стрелки. Задаваясь длиной отрезка ρ и углом поворота φ, можно с таким же успехом, как и с помощью задания декартовых координат Х и Y, задать любую точку на плоскости. При этом направленный отрезок, начало которого всегда совпадает с началом координат О, называют радиус-вектором. Заметим, что длина радиус-вектора в полярных координатах всегда является положительным числом (вырожденный случай — само начало координат, тогда ρ = 0), а полярный угол φ меняется в пределах от 0 до 2π. Декартовы координаты легко выразить через полярные: обозначив ОХ = х, ОY = y, найдем:

(1)

Формулы (1) позволяют перейти от полярных координат к декартовым. Для обратного преобразования возведем оба равенства (1) в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством . Получим: . Помня о том, что , можно записать:

, (2)

откуда видно, что радиус-вектор полярной системы координат выражается через декартовы координаты по теореме Пифагора. Если теперь разделить почленно равенства (1), то получим

Если бы угол φ находился в пределах (), то можно было бы записать

(3)

Но, по определению полярной системы координат, φ может находиться в пределах (0, 2π). Если , то , и формула (3) справедлива. Если , то , и вместо (3) следует записать

(4)

Если , то , и

(5)

Наконец, если , то , и

(6)

Итак, обратное преобразование координат от декартовых к полярным требует более аккуратной записи и в зависимости от знаков х и у выражается формулами (2), (3); (2), (4); (2), (5) или (2), (6).

Вернемся к декартовой записи координат. Если необходимо найти координаты направленного отрезка, начало и конец которого не совпадают с началом координат, то, обозначая начало отрезка А, конец В, имеем:

АВ = (x_B — x_A;y_B — y_A)

Направленный отрезок АВ как упорядоченная пара точек называется вектором АВ.

Если ввести радиус-векторы точек А и В, координаты которых являются концами соответствующих радиус-векторов r_A и r_B, то

AB = r_B — r_A = (x_B — x_A;y_B — y_A)

Длина вектора АВ очевидным образом определяется по теореме Пифагора:

, (7)

поскольку она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами .

Векторы, начало и конец которых произвольным образом расположены на плоскости, иногда называют векторами общего вида, или свободными векторами. Вектор, который может располагаться только на некоторой прямой (но при этом произвольным образом перемещаться вдоль этой прямой), называют скользящим. Таковым является направляющий вектор координатной оси, задающий ее направление. Наконец, если начало вектора закреплено, то он называется приложенным. Таковым является радиус-вектор точки на плоскости.

Алгебраические действия над векторами.

3. Существует нуль-вектор, прибавление которого к любому данному вектору не меняет данного вектора

a + = a;

Не следует путать число 0 и нуль-вектор: они входят в разные множества. Используя введенную операцию умножения вектора на число, можно записать:

= 0 a для любого вектора a.

Введенные операции сложения и умножения векторов обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, т.е. можно менять местами слагаемые, вносить в скобки и выносить за таковые как сами векторы, участвующие в операциях, так и числа, на которые идет умножение.

Множество векторов, координаты которых можно определять по введенным правилам и в котором выполнимы операции сложения и умножения на число, назовем линейным пространством.

Поскольку с каждой координатной осью можно связать направляющий вектор (обычно направляющий вектор оси X называют i, оси Y — j) k., любой вектор a плоскости можно выразить через эти векторы, используя введенные операции:

Пара векторов (i, j) образует базис линейного пространства векторов на плоскости. Вообще говоря, базис может быть образован любой парой векторов, если один из векторов этой пары не может быть выражен через другой теми же операциями сложения и умножения на число (такое свойство назовем линейной независимостью). Но введенная нами изначально система координат имеет взаимно перпендикулярные оси. Такая система координат и связанный с ней базис называются ортогональными. Если к тому же базисные векторы имеют единичную длину, то такой базис называется ортонормированным.

Переход к новой системе координат от исходной декартовой OXY с ортами (i, j) к новой также декартовой системе O*X*Y* с началом в точке O* и ортами (i*, j*) состоит в замене координат данной точки М (x,y) на новые М (x*,y*). Всякое преобразование базисных векторов в пределах введенного линейного пространства может быть представлено как совокупность параллельных переносов и поворотов на некоторый угол.

Отметим, что коллинеарность и параллельность векторов следует различать. Параллельность, пришедшая из евклидовой геометрии, не учитывает направления, т.е. направляющих векторов у параллельных по Евклиду прямых нет. Коллинеарность же включает как параллельность (совпадение направлений), так и антипараллельность (противоположность направлений).

Вооружившись алгеброй векторов и введя понятие линейного пространства, можно теперь работать в терминах собственно аналитической геометрии.

Запишем параметрическое уравнение прямой на плоскости.

Важнейшим понятием, связанным с линейным пространством векторов, является понятие скалярного произведения.

Введенное таким образом скалярное произведение фактически определяет соответствие между множеством векторов в линейном пространстве и множеством действительных чисел, так, что каждой паре векторов ставится в соответствие одно действительное число. Используемые здесь длины векторов чаще всего именуют модулями (уместна аналогия с модулем, вводимым в теории чисел, но ею надо пользоваться с осторожностью), поэтому данное определение скалярного произведения иногда не совсем удачно называют модульным определением. С ним тесно связано координатное представление скалярного произведения, часто используемое при расчетах.

Вооружившись скалярным произведением, можно вычислять практически любые метрические соотношения на плоскости.
Поэтому линейное пространство с введенным скалярным произведением называют линейным метрическим пространством.

Запишем теперь общее уравнение прямой на плоскости

Дата добавления: 2013-12-13