Функция . Теорема. Справедливо разложение. Функция . Логарифмический ряд

Функция. Логарифмический ряд.

Теорема. Справедливо разложение

(6)

Доказательство.

Пользуясь свойством почленного интегрирования абсолютно сходящихся рядов, имеем из формулы (5)

Полученный ряд при этом сходится абсолютно при .

При имеем ряд , который сходится условно по признаку Лейбница.

При - гармонический ряд, который расходится.

По свойству непрерывности степенного ряда на границе

и область сходимости (6)

Теорема доказана.

Теорема. Справедливо разложение

(7)

Доказательство.

Заменим в формуле (5):

на

Применим формулу почленного интегрирования

Полученный ряд при этом сходится абсолютно при .

При имеем ряд ,

При имеем ряд

которые сходится условно по признаку Лейбница.

По свойству непрерывности степенного ряда на границе

область сходимости (7) .

Теорема доказана.

Замечание 3. Полагая в формуле (7) имеем

Следовательно,

Дата добавления: 2013-12-13