Решение. Построить эпюру Nz для стержня, приведенного на рисунке

Пример 12.

Пример 11.

Пример 10.

Пример 9.

Пример 8.

Построить эпюру N_z для стержня, приведенного на рисунке.

Р е ш е н и е.

Стержень нагружен только сосредоточенными осевыми силами, поэтому продольная сила в пределах каждого участка постоянна. На границе участков N_z претерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е) к защемлению (сеч. А). На участке DE продольная сила положительна, так как сила вызывает растяжение, т.е. N_ED = + F. В сечении D продольная сила меняется скачком от N_DE = N_ED = F до N_DС = N_DЕ – 3 F = – 2 F (находим из условия равновесия бесконечно малого элемента dz, выделенного на границе двух смежных участков CD и DE).

Заметим, что скачок равен по величине приложенной силе 3F и направлен в сторону отрицательных значений N_z, так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CD имеем N_СD = N_DС = – 2 F. В сечении C продольная сила изменяется скачком от N_СD = – 2 F до N_СВ = N_СD + 5 F = 3 F. Величина скачка равна приложенной силе 5 F. В пределах участка CВ продольная сила опять постоянна N_СВ = N_ВС =3 F. Наконец, в сечении В на эпюре N_z опять скачок: продольная сила меняется от N_ВС = 3 F до N_ВА = N_ВС – 2 F = F. Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2 F вызывает сжатие стержня. Эпюра N_z приведена на рисунке.

Стержень, нагруженный, как показано на рисунке, удерживается в опоре силами трения, равномерно распределенными по ее толщине. Построить эпюру продольной силы.

Р е ш е н и е.

Из условия равновесия стержня в проекции на ось z находим интенсивность сил трения:

, , откуда q = 3 F / a.

Эпюру N_z строим по формуле . Согласно этой зависимости на участках АВ и CD продольная сила постоянна, так как погонной нагрузки нет (q = 0). На участке ВС продольная сила изменяется по линейному закону (q = const). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре N_z имеют место скачки, равные по величине приложенным силам. Примем направление обхода слева направо. В сечении А сила 2 F вызывает сжатие, поэтому N_AB = -2 F. На участке ВС продольная сила изменяется от N_B = N_A = -2 F до . На участке CD продольная сила постоянна и равна N_СD = 4 F.

Стержень, изображенный на рисунке (а), нагружен уравновешенной системой в виде сосредоточенных и распределенных сил. Эпюра продольной силы показана на рисунке (б). Определить значения и направления приложенной к стержню нагрузки.

Р е ш е н и е.

В сечениях 1, 2, 3, 4 на эпюре имеются скачки, что связано с приложенными здесь сосредоточенными силами. Скачку вверх соответствует сила, вызывающая растяжение в рассматриваемом сечении; при скачке вниз сила вызывает сжатие. Величина скачка равна приложенной силе. Будем перемещаться по стержню слева направо. В сечении 1 приложена растягивающая сила F ₁ = 20 кН, направленная влево. Далее на участке 12 на стержень действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности, равной согласно дифференциальной зависимости тангенсу угла наклона прямой, т.е. q ₁₂ =(60-20)/2 = 20 кН/м. Погонная нагрузка вызывает растяжение и направлена влево. Приложенная в сечении 2 сила F ₂ = 100 кН вызывает сжатие и направлена вправо. На участке 23 распределенной нагрузки нет, так как продольная сила постоянна. В сечении 3 приложена растягивающая сила F ₃ = 80 кН (направлена влево). На участке 34 действует распределенная нагрузка интенсивности q ₃₄ = (-40 - 40)/1 = -80 кН/м, вызывающая сжатие и направленная вправо. Наконец, в сечении 4 приложена сила F ₄ = 40 кН, направленная влево.

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей A ₁/ A ₂=2 подвержен действию нагрузок, показанных на рис. а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности. (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение.

Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:

на первом участке ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F ₁ = 10 кН, F ₂ = 40 кН, q ₁ = 15 кН/м, q ₂ = 20 кН/м.

Зная продольную силу, находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т.е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рисунке, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда ,

и ;

для стальной части

, тогда .

Из трех значений A ₁, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям. Значение А ₂ находим по заданному соотношению: .

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках должен быть больше нормируемого.

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рисунке. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

Для определения внутренних усилий разбиваем прямолинейный брус на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и точкам приложения сосредоточенных сил. Из рассмотрения рис. а определяем, что брус необходимо разбить на четыре участка.

Проводим сечение I – I. Отбросим верхнюю часть бруса, ее действие заменим нормальной силой N₁ (рис. б). Запишем уравнение равновесия, проектируя силы на ось бруса:

откуда N ₁ = F.

Очевидно, что на всем первом участке () нормальная сила N₁ постоянна по величине. Откладываем в масштабе значение нормальной силы N ₁ = F в пределах участка I – I (рис. е).

Проводим сечение II – II и, отбрасывая верхнюю часть бруса, заменяем ее действие нормальной силой N ₂ (рис. в). Проектируем все силы на ось бруса:

откуда N ₂ = – F.

Аналогично находим нормальные силы в сечении III – III (рис. г):

откуда N ₃ = – F

и в сечении IV – IV (рис. д):

откуда N ₄ = 0.

Откладывая в масштабе значения нормальных сил N ₂, N ₃, N ₄ в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис. е). Полученную таким путем эпюру принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а знак «минус» – сжатие.

Для построения эпюры нормальных напряжений воспользуемся формулой для каждого участка:

Эпюра нормальных напряжений (рис. ж) показывает, что наибольшего значения нормальные напряжения достигают в пределах третьего участка (участок III).

Дата добавления: 2013-12-13